Mathématiques · Analyse 1 · chapitre 2 sur 6

Nombres réels

Analyse 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Ce chapitre précise ce que l'on utilisait sans le dire au lycée : la droite réelle n'a pas de trous. L'axiome de la borne supérieure en est la forme exacte ; il permet de démontrer la propriété d'Archimède, l'existence de la partie entière et la densité des rationnels, des outils qui servent dans toutes les preuves du semestre.

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Ce que couvre le chapitre

  • Ordre et valeur absolue. R\mathbb{R} est un corps totalement ordonné ; inégalité triangulaire ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣\big||x|-|y|\big|\leq|x+y|\leq|x|+|y| ; intervalles et encadrements.

  • Majorant et borne supérieure. La borne supérieure de AA est le plus petit des majorants de AA ; elle peut ne pas appartenir à AA, et AA n'a alors pas de plus grand élément.

  • Axiome de la borne supérieure. Toute partie non vide et majorée de R\mathbb{R} admet une borne supérieure. C'est faux dans Q\mathbb{Q} : {x∈Q:x2<2}\{x\in\mathbb{Q} : x^2<2\} n'a pas de borne supérieure rationnelle.

  • Caractérisation. M=sup⁡AM=\sup A si et seulement si MM majore AA et ∀ε>0, ∃a∈A, M−ε<a\forall\varepsilon>0,\ \exists a\in A,\ M-\varepsilon<a ; de façon équivalente, MM majore AA et une suite d'éléments de AA tend vers MM.

  • Archimède et partie entière. Pour x>0x>0 et y∈Ry\in\mathbb{R}, il existe n∈Nn\in\mathbb{N} tel que nx>ynx>y ; on en déduit l'entier ⌊x⌋\lfloor x\rfloor, unique tel que ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1.

  • Densité. Entre deux réels distincts, il y a toujours un rationnel et un irrationnel ; tout réel xx est limite d'une suite de rationnels, par exemple ⌊10nx⌋10n\dfrac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble défini par une formule, et dire si ce sont un plus grand ou un plus petit élément.

  • Justifier une borne supérieure par la caractérisation avec ε\varepsilon, ou par une suite d'éléments de l'ensemble qui converge vers elle.

  • Manipuler la partie entière : encadrement x−1<⌊x⌋≤xx-1<\lfloor x\rfloor\leq x, limites comme ⌊nx⌋n→x\dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\to x.

  • Démontrer une propriété de densité, ou s'en servir pour approcher un réel par des rationnels.

L'erreur classique

Confondre borne supérieure et plus grand élément

Pour A={1−1n:n∈N∗}A=\left\{1-\frac{1}{n} : n\in\mathbb{N}^*\right\}, on écrit parfois « max⁡A=1\max A=1 ». Or 11 n'est atteint pour aucun nn : 1∉A1\notin A. Le nombre 11 est la borne supérieure de AA, mais AA n'a pas de plus grand élément.

Pour conclure proprement : 11 majore AA ; pour tout ε>0\varepsilon>0, un entier n>1εn>\frac{1}{\varepsilon} donne 1−1n>1−ε1-\frac1n>1-\varepsilon avec 1−1n∈A1-\frac1n\in A. Donc sup⁡A=1\sup A=1. Un maximum n'existe que si la borne supérieure appartient à l'ensemble.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble

Soit A={nn+1:n∈N}A=\left\{\dfrac{n}{n+1} : n\in\mathbb{N}\right\}. Déterminer inf⁡A\inf A et sup⁡A\sup A. Sont-ils un plus petit et un plus grand élément ?

Corrigé

Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, nn+1=1−1n+1\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}, donc 0≤nn+1<10\leq\dfrac{n}{n+1}<1.

  • Borne inférieure. 00 minore AA et 0∈A0\in A (pour n=0n=0) : min⁡A=0\min A=0, donc inf⁡A=0\inf A=0.
  • Borne supérieure. 11 majore AA. Soit ε>0\varepsilon>0 ; par la propriété d'Archimède, il existe un entier nn tel que n+1>1εn+1>\dfrac{1}{\varepsilon}, et alors nn+1=1−1n+1>1−ε\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}>1-\varepsilon. Donc sup⁡A=1\sup A=1. Comme nn+1=1\dfrac{n}{n+1}=1 n'a pas de solution, 1∉A1\notin A : AA n'a pas de plus grand élément.

Exemple 2 — Une limite avec la partie entière

Soit xx un réel. Montrer que ⌊nx⌋n→x\dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\to x quand n→+∞n\to+\infty.

Corrigé

Par définition de la partie entière, pour tout n≥1n\geq1 :

nx−1<⌊nx⌋≤nx,doncx−1n<⌊nx⌋n≤x.nx-1<\lfloor nx\rfloor\leq nx,\qquad\text{donc}\qquad x-\frac1n<\frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\leq x.

Les deux bornes tendent vers xx : par encadrement, ⌊nx⌋n→x\dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\to x. Ces nombres sont rationnels : on obtient une suite de rationnels qui converge vers xx, c'est la densité de Q\mathbb{Q} dans R\mathbb{R} vue par les suites.

Exemple 3 — Un rationnel entre deux réels

Soient a<ba<b deux réels. Montrer qu'il existe un rationnel rr tel que a<r<ba<r<b.

Corrigé

Comme b−a>0b-a>0, la propriété d'Archimède donne un entier q≥1q\geq1 tel que q(b−a)>1q(b-a)>1. Posons p=⌊qa⌋+1p=\lfloor qa\rfloor+1. Alors qa<pqa<p, et

p≤qa+1<qa+q(b−a)=qb.p\leq qa+1<qa+q(b-a)=qb.

Donc qa<p<qbqa<p<qb et, en divisant par q>0q>0, a<pq<ba<\dfrac{p}{q}<b : le rationnel r=pqr=\dfrac{p}{q} convient.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle différence entre borne supérieure et maximum ?

La borne supérieure est le plus petit des majorants ; elle existe pour toute partie non vide et majorée de R. Le maximum est un élément de l'ensemble qui majore tous les autres. Quand le maximum existe, il est égal à la borne supérieure ; mais la borne supérieure peut ne pas appartenir à l'ensemble, comme 1 pour l'ensemble des nombres 1 - 1/n.

Pourquoi dit-on que Q a des trous ?

Parce que des parties de Q non vides et majorées n'ont pas de borne supérieure dans Q. L'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est majoré, mais sa borne supérieure serait racine de 2, qui n'est pas rationnel. Dans R, l'axiome de la borne supérieure assure qu'une telle borne existe toujours.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Nombres réels » (Analyse 1) ?

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À revoir, pour aller plus loin

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