Mathématiques · Analyse 1 · chapitre 1 sur 6

Suites numériques

Analyse 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Le chapitre des suites est le premier contact avec la définition rigoureuse de la limite, celle qui utilise epsilon. Le reste de l'Analyse 1 s'appuie dessus : limites de fonctions, continuité, approximations. L'objectif est de savoir prouver une convergence, pas seulement de la deviner.

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Ce que couvre le chapitre

  • Convergence. (un)(u_n) converge vers ℓ\ell si ∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N, ∣un−ℓ∣≤ε\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\ |u_n-\ell|\leq\varepsilon. La limite, quand elle existe, est unique, et une suite convergente est bornée.

  • Opérations et inégalités. Somme, produit, quotient de limites ; une inégalité large un≤vnu_n\leq v_n se conserve à la limite, une inégalité stricte devient large.

  • Théorèmes d'existence. Encadrement (« gendarmes ») ; limite monotone : une suite croissante et majorée converge ; deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

  • Suites extraites. Si un→ℓu_n\to\ell, toute suite extraite tend vers ℓ\ell ; deux suites extraites de limites différentes prouvent la divergence. Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une suite extraite convergente.

  • Suites de Cauchy. Dans R\mathbb{R}, une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy : un critère qui ne demande pas de connaître la limite.

  • Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) : intervalle stable, monotonie, limite cherchée parmi les points fixes de ff quand ff est continue ; suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques.

  • Moyenne de Cesàro. Si un→ℓu_n\to\ell, alors 1n∑k=1nuk→ℓ\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k\to\ell ; la réciproque est fausse, comme le montre un=(−1)nu_n=(-1)^n.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Démontrer une limite par la définition : choisir NN explicitement, souvent avec la partie entière, et justifier que ce NN convient.

  • Étudier une suite un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) : intervalle stable par récurrence, sens de variation, convergence par la limite monotone, puis la limite par passage à la limite dans la relation.

  • Montrer que deux suites sont adjacentes (monotonies opposées, différence qui tend vers 00) et en déduire leur convergence.

  • Prouver qu'une suite diverge avec deux suites extraites, par exemple (u2n)(u_{2n}) et (u2n+1)(u_{2n+1}).

  • Encadrer une somme pour trouver sa limite, du type ∑k=1nnn2+k\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+k}.

L'erreur classique

Passer à la limite avant de savoir que la limite existe

On lit : « un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_n}, donc à la limite ℓ=2+ℓ\ell=\sqrt{2+\ell}, d'où ℓ=2\ell=2 ». Le calcul ne prouve rien : il dit seulement que si la suite converge, sa limite vaut 22. Avec u0=1u_0=1 et un+1=2unu_{n+1}=2u_n, le même raisonnement « donnerait » ℓ=2ℓ\ell=2\ell, donc ℓ=0\ell=0, alors que la suite tend vers +∞+\infty.

La bonne rédaction suit trois temps :

  1. prouver la convergence (monotone et bornée, suites adjacentes, encadrement…) ;
  2. passer à la limite dans la relation, en citant la continuité de ff ;
  3. choisir la bonne solution de ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell) grâce aux bornes déjà établies.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une limite par la définition

Montrer, avec la définition, que un=3n+1n+2u_n=\dfrac{3n+1}{n+2} tend vers 33.

Corrigé

Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} :

∣un−3∣=∣3n+1−3n−6n+2∣=5n+2.|u_n-3|=\left|\frac{3n+1-3n-6}{n+2}\right|=\frac{5}{n+2}.

Soit ε>0\varepsilon>0 et N=⌊5ε⌋N=\left\lfloor\dfrac{5}{\varepsilon}\right\rfloor. Pour n≥Nn\geq N, on a n+2>N+1>5εn+2>N+1>\dfrac{5}{\varepsilon}, donc ∣un−3∣=5n+2<ε|u_n-3|=\dfrac{5}{n+2}<\varepsilon. Ainsi un→3u_n\to3.

Exemple 2 — Une suite récurrente rédigée en trois temps

On pose u0=1u_0=1 et un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_n}. Montrer que (un)(u_n) converge et trouver sa limite.

Corrigé

Bornes. Montrons par récurrence que 1≤un≤21\leq u_n\leq2. C'est vrai pour n=0n=0. Si 1≤un≤21\leq u_n\leq2, alors 3≤2+un≤43\leq2+u_n\leq4, donc 3≤un+1≤2\sqrt3\leq u_{n+1}\leq2, et 3≥1\sqrt3\geq1.

Monotonie. Pour x∈[1,2]x\in[1,2] :

2+x−x=2+x−x22+x+x=(2−x)(1+x)2+x+x≥0.\sqrt{2+x}-x=\frac{2+x-x^2}{\sqrt{2+x}+x}=\frac{(2-x)(1+x)}{\sqrt{2+x}+x}\geq0.

Donc un+1≥unu_{n+1}\geq u_n : la suite est croissante.

Limite. Croissante et majorée par 22, elle converge vers un réel ℓ∈[1,2]\ell\in[1,2]. La fonction x↦2+xx\mapsto\sqrt{2+x} est continue en ℓ\ell ; en passant à la limite, ℓ=2+ℓ\ell=\sqrt{2+\ell}, soit (ℓ−2)(ℓ+1)=0(\ell-2)(\ell+1)=0. Comme ℓ≥1\ell\geq1, ℓ=2\ell=2.

Exemple 3 — Deux suites extraites pour prouver une divergence

Montrer que la suite un=(−1)nnn+1u_n=(-1)^n\dfrac{n}{n+1} diverge.

Corrigé

On sépare les termes pairs et impairs :

u2n=2n2n+1→n→+∞1,u2n+1=−2n+12n+2→n→+∞−1.u_{2n}=\frac{2n}{2n+1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}1,\qquad u_{2n+1}=-\frac{2n+1}{2n+2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}-1.

Si (un)(u_n) convergeait vers ℓ\ell, toutes ses suites extraites tendraient vers ℓ\ell, donc ℓ=1\ell=1 et ℓ=−1\ell=-1 : impossible. La suite diverge, bien qu'elle soit bornée : « bornée » ne suffit pas pour converger.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Une suite bornée est-elle forcément convergente ?

Non. La suite (-1)^n est bornée et diverge. En revanche, une suite bornée admet toujours une suite extraite convergente (théorème de Bolzano-Weierstrass), et une suite monotone et bornée converge.

À quoi sert le critère de Cauchy ?

Il prouve qu'une suite converge sans connaître sa limite : il suffit que ses termes se rapprochent les uns des autres. Dans R, être de Cauchy et converger sont équivalents ; dans Q, ce n'est plus vrai, ce qui montre le rôle de la complétude de R.

Comment trouver N dans une démonstration avec epsilon ?

On part de l'inégalité voulue, |u_n − ℓ| inférieur ou égal à epsilon, et on la résout en n, en majorant d'abord |u_n − ℓ| par une expression plus simple si besoin. On obtient une condition du type n supérieur à une quantité qui dépend d'epsilon, et on prend pour N la partie entière de cette quantité, plus un si nécessaire.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Suites numériques » (Analyse 1) ?

Oui. Sur MC² Academy, le chapitre « Suites numériques » du module Analyse 1 compte 17 vidéos (3 h 57), 3 résumés, 9 séries d'exercices corrigés, 3 QCM (30 questions) et 3 polys rédigés. L'inscription est gratuite.

À revoir, pour aller plus loin

Analyse 1Nombres réelsNombres réels en Analyse 1 : borne supérieure et inférieure, propriété d'Archimède, partie entière, densité de Q dans R, avec l'erreur classique et des exemples.Analyse 1Limites et continuitéLimites et continuité en Analyse 1 : définition avec epsilon et delta, limites à gauche et à droite, valeurs intermédiaires, bornes atteintes, exemples corrigés.

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