Mathématiques · Analyse 1 · chapitre 3 sur 6

Limites et continuité

Analyse 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Après les suites, la notion de limite passe aux fonctions : il s'agit de dire précisément ce que signifie « f(x) se rapproche de ℓ quand x se rapproche de a ». La continuité en découle, avec deux théorèmes qui reviennent dans tout le semestre : les valeurs intermédiaires et les bornes atteintes sur un segment.

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Ce que couvre le chapitre

  • Limite en un point. lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x\to a}f(x)=\ell signifie ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈Df, ∣x−a∣≤δ⇒∣f(x)−ℓ∣≤ε\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in D_f,\ |x-a|\leq\delta\Rightarrow|f(x)-\ell|\leq\varepsilon ; limites infinies et limites en ±∞\pm\infty sur le même modèle.

  • Limites à gauche et à droite. La limite en aa existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales — et égales à f(a)f(a) quand ff est définie en aa.

  • Caractérisation séquentielle. f(x)→ℓf(x)\to\ell quand x→ax\to a si et seulement si f(xn)→ℓf(x_n)\to\ell pour toute suite (xn)(x_n) de DfD_f qui tend vers aa.

  • Opérations, encadrement, composition, et les croissances comparées en +∞+\infty : ln⁡xxα→0\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\to0 et xαex→0\dfrac{x^\alpha}{e^x}\to0 pour α>0\alpha>0.

  • Continuité. ff est continue en aa si lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a) ; prolongement par continuité ; continuité des fonctions usuelles, des sommes, produits, quotients et composées.

  • Valeurs intermédiaires. Si ff est continue sur [a,b][a,b], elle prend toute valeur comprise entre f(a)f(a) et f(b)f(b) ; l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

  • Fonctions continues sur un segment : elles sont bornées et atteignent leurs bornes. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection sur son image, de réciproque continue.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Prouver une limite ou une continuité par la définition avec ε\varepsilon et δ\delta, sur une fonction simple (affine, polynôme de degré 22, racine carrée).

  • Étudier une fonction définie par morceaux : limites à gauche et à droite au point de raccord, puis continuité ou prolongement par continuité.

  • Montrer qu'une limite n'existe pas avec deux suites, par exemple pour sin⁡1x\sin\dfrac1x en 00.

  • Prouver qu'une équation f(x)=0f(x)=0 a une solution par les valeurs intermédiaires, et qu'elle est unique par la stricte monotonie.

  • Lever les formes indéterminées usuelles : terme dominant, quantité conjuguée, croissances comparées.

L'erreur classique

Croire que les valeurs intermédiaires donnent une seule solution

Le théorème des valeurs intermédiaires affirme l'existence d'au moins une solution : si ff est continue sur [a,b][a,b] et f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0, alors ff s'annule au moins une fois sur ]a,b[]a,b[. Il ne dit rien de l'unicité. La fonction f(x)=x3−xf(x)=x^3-x vérifie f(−2)=−6<0<6=f(2)f(-2)=-6<0<6=f(2)… et s'annule trois fois sur [−2,2][-2,2].

Pour une solution unique, il faut un argument de plus : la stricte monotonie. On rédige : « ff est continue et strictement croissante sur [a,b][a,b], et f(a)<0<f(b)f(a)<0<f(b) ; donc f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution dans ]a,b[]a,b[ ». C'est le théorème de la bijection.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une continuité par la définition

Montrer avec ε\varepsilon et δ\delta que f(x)=x2f(x)=x^2 est continue en a=3a=3.

Corrigé

Soit ε>0\varepsilon>0. Pour tout réel xx, ∣x2−9∣=∣x−3∣ ∣x+3∣|x^2-9|=|x-3|\,|x+3|. On contrôle d'abord ∣x+3∣|x+3| : si ∣x−3∣≤1|x-3|\leq1, alors 2≤x≤42\leq x\leq4, donc ∣x+3∣≤7|x+3|\leq7.

Posons δ=min⁡(1,ε7)\delta=\min\left(1,\dfrac{\varepsilon}{7}\right). Si ∣x−3∣≤δ|x-3|\leq\delta, alors ∣x+3∣≤7|x+3|\leq7 et

∣x2−9∣≤7 ∣x−3∣≤7⋅ε7=ε.|x^2-9|\leq7\,|x-3|\leq7\cdot\frac{\varepsilon}{7}=\varepsilon.

Donc ff est continue en 33. Le minimum sert à faire tenir les deux contraintes à la fois.

Exemple 2 — Un prolongement par continuité

Soit f(x)=1+x−1xf(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x} pour x∈[−1,0[ ∪ ]0,+∞[x\in[-1,0[\,\cup\,]0,+\infty[. Peut-on prolonger ff par continuité en 00 ?

Corrigé

On multiplie par la quantité conjuguée : pour x≠0x\neq0,

f(x)=(1+x−1)(1+x+1)x (1+x+1)=11+x+1.f(x)=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x\,(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.

Cette dernière expression est continue en 00, donc f(x)→12f(x)\to\dfrac12 quand x→0x\to0. En posant f(0)=12f(0)=\dfrac12, on obtient une fonction continue en 00 : ff se prolonge par continuité.

Exemple 3 — Une limite qui n'existe pas

Montrer que x↦sin⁡1xx\mapsto\sin\dfrac1x n'a pas de limite en 00.

Corrigé

Pour n≥1n\geq1, posons

xn=12nπ,yn=1π2+2nπ.x_n=\frac{1}{2n\pi},\qquad y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}.

Les deux suites tendent vers 00, mais sin⁡1xn=sin⁡(2nπ)=0\sin\dfrac{1}{x_n}=\sin(2n\pi)=0 alors que sin⁡1yn=sin⁡(π2+2nπ)=1\sin\dfrac{1}{y_n}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\right)=1. Si la fonction avait une limite ℓ\ell en 00, la caractérisation séquentielle donnerait ℓ=0\ell=0 et ℓ=1\ell=1 : contradiction. Il n'y a pas de limite en 00.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle est la différence entre limite et continuité ?

Une fonction peut avoir une limite en un point sans y être définie, comme sin(x)/x en 0. La continuité demande que la fonction soit définie au point, qu'elle y ait une limite, et que cette limite soit égale à sa valeur. Une limite finie en un point où la fonction n'est pas définie permet de la prolonger par continuité.

Le théorème des valeurs intermédiaires marche-t-il sans continuité ?

Non, la continuité sur tout l'intervalle est indispensable. La partie entière sur [0, 2] prend les valeurs 0 et 2 mais jamais 1/2. Avant de citer le théorème, on vérifie donc la continuité sur l'intervalle entier, pas seulement aux bornes.

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