Essaie MC² en 3 minutes.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$.

1) Calculer $u_1$ et $u_2$.

2) Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n<6$.

3) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. En déduire qu'elle est convergente.

4) On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=u_n-6$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

b) En déduire $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $(u_n)$.