Mathématiques · Analyse 1 · chapitre 6 sur 6

Développements limités

Analyse 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Un développement limité écrit une fonction, près d'un point, comme un polynôme plus un reste négligeable. Il sert à lever des formes indéterminées qui résistent aux autres méthodes et à décrire une courbe localement, à condition de choisir le bon ordre et de manipuler les petits o correctement.

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Ce que couvre le chapitre

  • Définition. ff admet un DL d'ordre nn en 00 s'il existe des réels a0,…,ana_0,\dots,a_n tels que f(x)=a0+a1x+⋯+anxn+o(xn)f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+o(x^n). Il est unique ; pour une fonction paire (impaire), la partie régulière ne contient que des puissances paires (impaires).

  • Lien avec Taylor-Young. Une fonction nn fois dérivable en 00 a pour DL ∑k=0nf(k)(0)k!xk+o(xn)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n). Un DL d'ordre 11 équivaut à la dérivabilité, mais un DL d'ordre 22 n'assure pas que f′′(0)f''(0) existe.

  • DL usuels en 00 : exe^x, ln⁡(1+x)\ln(1+x), (1+x)α(1+x)^\alpha, 11−x\dfrac{1}{1-x}, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, arctan⁡x\arctan x, à connaître sans hésiter.

  • Opérations : somme, produit (en tronquant au bon ordre), quotient grâce à 11−u\dfrac{1}{1-u}, composition quand l'expression intérieure tend vers 00, primitivation d'un DL de f′f'.

  • DL en un point aa ou en ±∞\pm\infty : se ramener en 00 par x=a+hx=a+h ou par x=1tx=\dfrac{1}{t}.

  • Applications : limites et équivalents, prolongement et dérivabilité en un point, position d'une courbe par rapport à sa tangente, asymptotes obliques.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Écrire les DL usuels à l'ordre demandé et les combiner (produit, quotient, composée) en tronquant chaque terme au bon ordre.

  • Calculer une limite ou un équivalent en développant numérateur et dénominateur jusqu'au premier terme non nul.

  • Donner la tangente en un point et la position locale de la courbe grâce au terme suivant du DL.

  • Trouver une asymptote oblique en +∞+\infty et la position de la courbe par rapport à elle, avec un développement en 1x\dfrac{1}{x}.

  • Choisir l'ordre : ni trop bas, on perd l'information ; ni inutilement haut, on multiplie les calculs.

L'erreur classique

Tronquer trop tôt

Pour calculer lim⁡x→0sin⁡x−xx3\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}, écrire sin⁡x=x+o(x)\sin x=x+o(x) donne o(x)x3\dfrac{o(x)}{x^3}, qui ne permet pas de conclure : l'ordre 11 ne suffit pas. Il faut aller jusqu'au premier terme non nul après simplification : sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3), d'où la limite −16-\dfrac16.

Le même piège guette les quotients : pour ex−1x\dfrac{e^x-1}{x} à l'ordre 22, la division par xx fait perdre un ordre, donc il faut développer exe^x à l'ordre 33. Avant de choisir l'ordre, on compte ce que chaque opération fait perdre.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une limite par développements limités

Calculer lim⁡x→0exsin⁡x−x−x2x3\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x\sin x-x-x^2}{x^3}.

Corrigé

On divise par x3x^3 : il faut le numérateur à l'ordre 33. Comme sin⁡x\sin x commence par xx, un DL de exe^x à l'ordre 22 suffit dans le produit :

exsin⁡x=(1+x+x22+o(x2))(x−x36+o(x3))=x+x2+(12−16)x3+o(x3).e^x\sin x=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)=x+x^2+\left(\frac12-\frac16\right)x^3+o(x^3).

Donc exsin⁡x−x−x2=x33+o(x3)e^x\sin x-x-x^2=\dfrac{x^3}{3}+o(x^3), et la limite vaut 13\dfrac13.

Exemple 2 — Tangente et position de la courbe

Soit f(x)=ex1+xf(x)=\dfrac{e^x}{1+x}. Donner la tangente en 00 et la position de la courbe par rapport à elle près de 00.

Corrigé

On développe à l'ordre 22, avec 11+x=1−x+x2+o(x2)\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2+o(x^2) :

f(x)=(1+x+x22+o(x2))(1−x+x2+o(x2))=1+x22+o(x2).f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)\left(1-x+x^2+o(x^2)\right)=1+\frac{x^2}{2}+o(x^2).

La tangente en 00 est la droite y=1y=1, puisque le coefficient de xx est nul. Et f(x)−1=x22+o(x2)f(x)-1=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) est strictement positif pour x≠0x\neq0 assez proche de 00 : la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 00.

Exemple 3 — Une asymptote oblique

Étudier la branche infinie en +∞+\infty de g(x)=x2+x+1g(x)=\sqrt{x^2+x+1}.

Corrigé

Pour x>0x>0, on factorise par x2x^2 et on pose t=1x→0t=\dfrac{1}{x}\to0 : g(x)=x1+t+t2g(x)=x\sqrt{1+t+t^2}. Avec (1+u)1/2=1+u2−u28+o(u2)(1+u)^{1/2}=1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{8}+o(u^2) et u=t+t2u=t+t^2 :

1+t+t2=1+t+t22−t28+o(t2)=1+t2+3t28+o(t2).\sqrt{1+t+t^2}=1+\frac{t+t^2}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)=1+\frac{t}{2}+\frac{3t^2}{8}+o(t^2).

En revenant à xx : g(x)=x+12+38x+o(1x)g(x)=x+\dfrac12+\dfrac{3}{8x}+o\left(\dfrac1x\right). La droite y=x+12y=x+\dfrac12 est asymptote en +∞+\infty, et g(x)−(x+12)∼38x>0g(x)-\left(x+\dfrac12\right)\sim\dfrac{3}{8x}>0 : la courbe est au-dessus de son asymptote.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle différence entre un développement limité et la formule de Taylor-Young ?

Taylor-Young fournit un développement limité quand la fonction est assez dérivable, avec des coefficients calculés par les dérivées. Mais on obtient le plus souvent un DL par opérations sur les DL usuels, sans calculer de dérivées. Et une fonction peut avoir un DL d'ordre 2 sans être deux fois dérivable.

Jusqu'à quel ordre faut-il développer ?

Jusqu'au premier terme qui ne s'annule pas après simplification. Pour une limite de quotient, on développe le numérateur et le dénominateur jusqu'à leur premier terme non nul ; dans un produit ou une division par une puissance de x, on prévoit un ordre de plus pour chaque ordre perdu.

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À revoir, pour aller plus loin

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