Mathématiques · Algèbre 1 · chapitre 2 sur 5

Ensembles

Algèbre 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Le chapitre des ensembles fixe le vocabulaire commun à toutes les matières : appartenance, inclusion, opérations, ensemble des parties, produit cartésien. Les preuves y sont courtes mais exigeantes : une inclusion se démontre élément par élément, une égalité par double inclusion, et chaque étape se ramène à la logique du chapitre précédent.

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Ce que couvre le chapitre

  • Appartenance et inclusion. x∈Ax\in A relie un élément à un ensemble ; A⊂BA\subset B relie deux ensembles et signifie ∀x, (x∈A⇒x∈B)\forall x,\ (x\in A\Rightarrow x\in B). On a A=BA=B si et seulement si A⊂BA\subset B et B⊂AB\subset A, et l'ensemble vide ∅\varnothing est inclus dans tout ensemble.

  • Opérations. Pour A,B⊂EA,B\subset E : réunion A∪BA\cup B, intersection A∩BA\cap B, différence A∖B={x∈A:x∉B}A\setminus B=\{x\in A : x\notin B\}, complémentaire A‾=E∖A\overline{A}=E\setminus A, aussi noté ∁EA\complement_E A.

  • Propriétés. Réunion et intersection sont associatives et commutatives, et chacune est distributive sur l'autre ; lois de De Morgan A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B} et A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}, traduction des lois logiques du même nom.

  • Inclusion et opérations. Pour A,B⊂EA,B\subset E, A⊂BA\subset B équivaut à A∩B=AA\cap B=A, à A∪B=BA\cup B=B, et à B‾⊂A‾\overline{B}\subset\overline{A} ; dans tous les cas, A∩B⊂A⊂A∪BA\cap B\subset A\subset A\cup B.

  • Ensemble des parties. P(E)\mathcal{P}(E) est l'ensemble des parties de EE : X∈P(E)X\in\mathcal{P}(E) signifie X⊂EX\subset E. Il contient toujours ∅\varnothing et EE ; si EE est fini à nn éléments, P(E)\mathcal{P}(E) en a 2n2^n.

  • Produit cartésien. E×F={(x,y):x∈E, y∈F}E\times F=\{(x,y) : x\in E,\ y\in F\} ; deux couples sont égaux si et seulement si leurs composantes le sont, si bien que (1,2)≠(2,1)(1,2)\neq(2,1) alors que {1,2}={2,1}\{1,2\}=\{2,1\}.

  • Familles d'ensembles. Pour une famille (Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}, x∈⋃i∈IAix\in\bigcup_{i\in I}A_i signifie ∃i∈I, x∈Ai\exists i\in I,\ x\in A_i, et x∈⋂i∈IAix\in\bigcap_{i\in I}A_i signifie ∀i∈I, x∈Ai\forall i\in I,\ x\in A_i.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Démontrer une égalité d'ensembles par double inclusion, en partant d'un élément quelconque du premier ensemble.

  • Démontrer une égalité par équivalences successives sur l'appartenance, en citant la loi logique utilisée à chaque étape.

  • Écrire en extension l'ensemble des parties d'un petit ensemble, par exemple P({a,b,c})\mathcal{P}(\{a,b,c\}), sans oublier ∅\varnothing ni l'ensemble lui-même.

  • Distinguer ∈\in et ⊂\subset : pour E={1,2}E=\{1,2\}, on a 1∈E1\in E, {1}⊂E\{1\}\subset E et {1}∈P(E)\{1\}\in\mathcal{P}(E), mais {1}∉E\{1\}\notin E.

  • Calculer la réunion ou l'intersection d'une famille d'intervalles, en s'appuyant sur la propriété d'Archimède.

L'erreur classique

Simplifier une réunion comme une somme

De A∪B=A∪CA\cup B=A\cup C, on déduit parfois B=CB=C, comme on simplifierait a+b=a+ca+b=a+c. C'est faux : avec A={1,2}A=\{1,2\}, B={1}B=\{1\} et C={2}C=\{2\}, on a A∪B=A∪C={1,2}A\cup B=A\cup C=\{1,2\}, et pourtant B≠CB\neq C. La réunion avec AA efface toute différence entre BB et CC située dans AA. De même, A∩B=A∩CA\cap B=A\cap C n'entraîne pas B=CB=C, comme le montrent A={1}A=\{1\}, B={2}B=\{2\} et C={3}C=\{3\}.

Les deux égalités réunies suffisent : si A∪B=A∪CA\cup B=A\cup C et A∩B=A∩CA\cap B=A\cap C, alors B=CB=C. Preuve par double inclusion : soit x∈Bx\in B. Si x∈Ax\in A, alors x∈A∩B=A∩Cx\in A\cap B=A\cap C, donc x∈Cx\in C. Si x∉Ax\notin A, alors x∈A∪B=A∪Cx\in A\cup B=A\cup C sans être dans AA, donc x∈Cx\in C. Ainsi B⊂CB\subset C ; en échangeant les rôles de BB et CC, on obtient C⊂BC\subset B.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une égalité par équivalences successives

Soient AA, BB et CC trois parties d'un ensemble EE. Montrer que A∖(B∪C)=(A∖B)∩(A∖C)A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C).

Corrigé

Soit x∈Ex\in E. On traduit chaque appartenance en logique :

x∈A∖(B∪C)  ⟺  x∈A et ¬(x∈B ou x∈C)  ⟺  x∈A et x∉B et x∉C  ⟺  (x∈A et x∉B) et (x∈A et x∉C)  ⟺  x∈(A∖B)∩(A∖C).\begin{aligned} x\in A\setminus(B\cup C)&\iff x\in A\ \text{et}\ \lnot(x\in B\ \text{ou}\ x\in C)\\ &\iff x\in A\ \text{et}\ x\notin B\ \text{et}\ x\notin C\\ &\iff(x\in A\ \text{et}\ x\notin B)\ \text{et}\ (x\in A\ \text{et}\ x\notin C)\\ &\iff x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C). \end{aligned}

La deuxième ligne applique une loi de De Morgan ; la troisième répète « x∈Ax\in A », ce qui ne change pas la valeur de vérité. Toutes les étapes sont des équivalences : les deux ensembles ont les mêmes éléments, ils sont égaux.

Exemple 2 — Parties d'une intersection, parties d'une réunion

Soient AA et BB deux ensembles. Montrer que P(A∩B)=P(A)∩P(B)\mathcal{P}(A\cap B)=\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B). A-t-on P(A∪B)=P(A)∪P(B)\mathcal{P}(A\cup B)=\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B) ?

Corrigé

Pour tout ensemble XX :

X∈P(A∩B)  ⟺  X⊂A∩B  ⟺  (X⊂A et X⊂B)  ⟺  X∈P(A)∩P(B).X\in\mathcal{P}(A\cap B)\iff X\subset A\cap B\iff(X\subset A\ \text{et}\ X\subset B)\iff X\in\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B).

L'équivalence du milieu vient de ce qu'un élément est dans A∩BA\cap B si et seulement s'il est dans AA et dans BB.

Pour la réunion, seule une inclusion est vraie : si X⊂AX\subset A ou X⊂BX\subset B, alors X⊂A∪BX\subset A\cup B, donc P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subset\mathcal{P}(A\cup B). L'égalité est fausse en général : pour A={1}A=\{1\} et B={2}B=\{2\}, la partie {1,2}\{1,2\} appartient à P(A∪B)\mathcal{P}(A\cup B), mais elle n'est incluse ni dans AA ni dans BB.

Exemple 3 — Réunion et intersection d'une famille d'intervalles

Déterminer ⋂n≥1]−1n,1n[\displaystyle\bigcap_{n\geq1}\left]-\frac1n,\frac1n\right[ et ⋃n≥1[1n,1]\displaystyle\bigcup_{n\geq1}\left[\frac1n,1\right].

Corrigé

Intersection. Le réel 00 appartient à chacun des intervalles. Soit x≠0x\neq0 : par la propriété d'Archimède, il existe un entier n≥1n\geq1 tel que n∣x∣≥1n|x|\geq1, c'est-à-dire ∣x∣≥1n|x|\geq\dfrac1n, et alors x∉]−1n,1n[x\notin\left]-\dfrac1n,\dfrac1n\right[. L'intersection est donc {0}\{0\}.

Réunion. Chaque segment [1n,1]\left[\dfrac1n,1\right] est inclus dans ]0,1]]0,1]. Inversement, si 0<x≤10<x\leq1, un entier n≥1xn\geq\dfrac1x donne 1n≤x\dfrac1n\leq x, donc x∈[1n,1]x\in\left[\dfrac1n,1\right]. La réunion vaut ]0,1]]0,1] : une réunion de segments n'est pas forcément un segment.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle différence entre appartenir à un ensemble et être inclus dans un ensemble ?

Un élément appartient à un ensemble ; un ensemble est inclus dans un autre. Pour E = {1, 2}, le nombre 1 appartient à E et la partie {1} est incluse dans E, mais {1} n'est pas un élément de E. Dans l'ensemble des parties de E, les rôles changent : {1} en est un élément.

Combien de parties a un ensemble à n éléments ?

Il en a 2 puissance n. Pour former une partie, on décide, pour chacun des n éléments, s'il en fait partie ou non : cela fait n choix indépendants entre deux possibilités. Un ensemble à 3 éléments a ainsi 8 parties, en comptant l'ensemble vide et l'ensemble lui-même.

Pourquoi l'ensemble vide est-il inclus dans tout ensemble ?

Dire que le vide est inclus dans A, c'est dire que tout élément du vide appartient à A. Comme le vide n'a aucun élément, il ne peut pas y avoir de contre-exemple : l'implication « si x appartient au vide, alors x appartient à A » a une hypothèse toujours fausse, elle est donc toujours vraie.

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