Mathématiques · Analyse 1 · chapitre 4 sur 6

Dérivabilité

Analyse 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

La dérivée mesure la variation locale d'une fonction : ce chapitre la définit comme une limite de taux d'accroissement, puis en tire les théorèmes qui relient la dérivée à la fonction sur tout un intervalle. Rolle et les accroissements finis sont au centre des exercices : inégalités, monotonie, approximations.

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Ce que couvre le chapitre

  • Nombre dérivé. ff est dérivable en aa si f(x)−f(a)x−a\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} a une limite finie f′(a)f'(a) quand x→ax\to a ; tangente y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a). Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse, comme pour ∣x∣|x| en 00.

  • Dérivées à gauche et à droite : points anguleux, demi-tangentes, tangentes verticales.

  • Opérations : somme, produit, quotient, composée (g∘f)′=f′×(g′∘f)(g\circ f)'=f'\times(g'\circ f), réciproque (f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))} quand f′(f−1(y))≠0f'(f^{-1}(y))\neq0 ; dérivées successives et formule de Leibniz.

  • Extremum local en un point intérieur où ff est dérivable : f′(a)=0f'(a)=0. La condition est nécessaire, pas suffisante : x↦x3x\mapsto x^3 en 00.

  • Rolle et accroissements finis. Si ff est continue sur [a,b][a,b] et dérivable sur ]a,b[]a,b[, il existe c∈ ]a,b[c\in\,]a,b[ tel que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) ; si ∣f′∣≤M|f'|\leq M, alors ∣f(b)−f(a)∣≤M∣b−a∣|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|.

  • Conséquences : signe de f′f' et monotonie ; théorème de la limite de la dérivée pour un point de raccord ; règle de L'Hôpital pour une forme 00\frac{0}{0}.

  • Fonctions réciproques usuelles : arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos, arctan⁡\arctan et leurs dérivées, par exemple arctan⁡′(x)=11+x2\arctan'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Étudier la dérivabilité en un point par le taux d'accroissement, notamment pour une fonction définie par morceaux ou qui contient ∣x∣|x| ou x\sqrt{x}.

  • Appliquer le théorème de Rolle en vérifiant ses trois hypothèses, pour montrer qu'une dérivée s'annule.

  • Établir une inégalité par les accroissements finis, comme x1+x<ln⁡(1+x)<x\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x pour x>0x>0.

  • Dériver une composée ou une réciproque, et étudier les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.

  • Calculer une limite de la forme 00\frac{0}{0} par la règle de L'Hôpital, en vérifiant ses hypothèses.

L'erreur classique

Appliquer Rolle sans vérifier les hypothèses

« f(−1)=f(1)f(-1)=f(1), donc par Rolle il existe cc tel que f′(c)=0f'(c)=0 » : pour f(x)=∣x∣f(x)=|x|, on a bien f(−1)=f(1)=1f(-1)=f(1)=1, mais f′(x)f'(x) vaut −1-1 ou 11 et ne s'annule jamais. Ce qui manque : ff n'est pas dérivable en 00, qui est dans ]−1,1[]-1,1[.

Le théorème de Rolle a trois hypothèses, à citer toutes : ff continue sur le segment [a,b][a,b], ff dérivable sur l'ouvert ]a,b[]a,b[, et f(a)=f(b)f(a)=f(b). La même vigilance vaut pour les accroissements finis : sans dérivabilité sur tout l'intérieur de l'intervalle, la conclusion peut être fausse.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Dérivabilité en un point délicat

Soit f(x)=x2sin⁡1xf(x)=x^2\sin\dfrac1x pour x≠0x\neq0 et f(0)=0f(0)=0. Étudier la dérivabilité de ff en 00.

Corrigé

On revient au taux d'accroissement : pour x≠0x\neq0,

f(x)−f(0)x−0=xsin⁡1x,et∣xsin⁡1x∣≤∣x∣→x→00.\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x\sin\frac1x,\qquad\text{et}\qquad\left|x\sin\frac1x\right|\leq|x|\xrightarrow[x\to0]{}0.

Le taux tend vers 00 : ff est dérivable en 00 et f′(0)=0f'(0)=0.

Pour x≠0x\neq0, f′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1xf'(x)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x, qui n'a pas de limite en 00. Une dérivée peut donc exister en un point sans y être continue ; c'est pourquoi on revient au taux d'accroissement plutôt qu'à la limite de f′f'.

Exemple 2 — Une inégalité par les accroissements finis

Montrer que pour tout x>0x>0 : x1+x<ln⁡(1+x)<x\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x.

Corrigé

Soit x>0x>0. La fonction ln⁡\ln est continue sur [1,1+x][1,1+x] et dérivable sur ]1,1+x[]1,1+x[. Par les accroissements finis, il existe c∈ ]1,1+x[c\in\,]1,1+x[ tel que

ln⁡(1+x)−ln⁡1=1c x.\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{c}\,x.

Comme 1<c<1+x1<c<1+x, on a 11+x<1c<1\dfrac{1}{1+x}<\dfrac{1}{c}<1 ; en multipliant par x>0x>0, on obtient x1+x<ln⁡(1+x)<x\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x.

Exemple 3 — Une limite par la règle de L'Hôpital

Calculer lim⁡x→0ex−1−xx2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}.

Corrigé

Les fonctions u(x)=ex−1−xu(x)=e^x-1-x et v(x)=x2v(x)=x^2 sont dérivables, s'annulent en 00, et v′(x)=2x≠0v'(x)=2x\neq0 pour x≠0x\neq0. Le quotient des dérivées vérifie

u′(x)v′(x)=ex−12x→x→012,\frac{u'(x)}{v'(x)}=\frac{e^x-1}{2x}\xrightarrow[x\to0]{}\frac12,

car ex−1x\dfrac{e^x-1}{x} est le taux d'accroissement de exp⁡\exp en 00, qui tend vers exp⁡′(0)=1\exp'(0)=1. La règle de L'Hôpital donne donc une limite égale à 12\dfrac12. Les développements limités retrouvent ce résultat en une ligne.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?

Non. La valeur absolue est continue en 0 mais pas dérivable en 0 : son taux d'accroissement tend vers 1 à droite et vers -1 à gauche. C'est l'inverse qui est vrai : une fonction dérivable en un point y est continue.

À quoi sert le théorème des accroissements finis ?

Il relie la variation d'une fonction entre deux points à la valeur de sa dérivée en un point intermédiaire. On s'en sert pour démontrer des inégalités, pour justifier qu'une fonction de dérivée positive est croissante, et pour majorer une erreur d'approximation, par exemple dans l'étude des suites récurrentes.

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