Mathématiques · Analyse 1 · chapitre 5 sur 6

Formules de Taylor

Analyse 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Les formules de Taylor prolongent les accroissements finis : elles approchent une fonction par un polynôme et disent quelle erreur on commet. Selon la forme du reste, on obtient une égalité exacte, une majoration chiffrée ou une information seulement locale ; savoir laquelle employer est l'essentiel du chapitre.

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Ce que couvre le chapitre

  • Polynôme de Taylor de ff à l'ordre nn en aa : Tn(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)kT_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, l'unique polynôme de degré au plus nn qui a les mêmes dérivées que ff en aa jusqu'à l'ordre nn.

  • Taylor-Lagrange. Si ff est de classe CnC^n sur [a,b][a,b] et n+1n+1 fois dérivable sur ]a,b[]a,b[, il existe c∈ ]a,b[c\in\,]a,b[ tel que f(b)=Tn(b)+f(n+1)(c)(n+1)!(b−a)n+1f(b)=T_n(b)+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}. Pour n=0n=0, ce sont les accroissements finis.

  • Reste intégral. Si ff est de classe Cn+1C^{n+1} : f(b)=Tn(b)+∫ab(b−t)nn!f(n+1)(t) dtf(b)=T_n(b)+\displaystyle\int_a^b\frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t, une égalité exacte.

  • Inégalité de Taylor-Lagrange. Si ∣f(n+1)∣≤M|f^{(n+1)}|\leq M entre aa et xx, alors ∣f(x)−Tn(x)∣≤M ∣x−a∣n+1(n+1)!|f(x)-T_n(x)|\leq\dfrac{M\,|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} : c'est elle qui chiffre l'erreur d'une approximation.

  • Taylor-Young. Si ff est nn fois dérivable en aa : f(x)=Tn(x)+o((x−a)n)f(x)=T_n(x)+o\big((x-a)^n\big) quand x→ax\to a. L'information est seulement locale ; elle mène aux développements limités.

  • Applications : valeurs approchées de ee, de sin⁡x\sin x ou de ln⁡(1+x)\ln(1+x) ; inégalités comme ex≥1+xe^x\geq1+x ; position d'une courbe par rapport à sa tangente.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Choisir la formule adaptée : Taylor-Lagrange ou reste intégral pour une égalité ou une majoration sur un intervalle, Taylor-Young pour une limite.

  • Majorer un reste par l'inégalité de Taylor-Lagrange, puis donner une valeur approchée avec une précision imposée.

  • Démontrer une inégalité polynomiale, comme x−x36≤sin⁡x≤xx-\dfrac{x^3}{6}\leq\sin x\leq x pour x≥0x\geq0.

  • Calculer les dérivées successives en un point pour écrire le polynôme de Taylor d'une fonction usuelle.

L'erreur classique

Prendre Taylor-Young pour une majoration

Taylor-Young s'écrit f(x)=Tn(x)+o((x−a)n)f(x)=T_n(x)+o\big((x-a)^n\big) : le « petit o » dit que l'erreur est négligeable devant (x−a)n(x-a)^n quand xx tend vers aa, sans donner la moindre borne pour un xx fixé. On ne peut donc pas en déduire un encadrement de e0,1e^{0{,}1}, par exemple.

Pour un encadrement chiffré, il faut un reste explicite : Taylor-Lagrange ou le reste intégral. Inversement, pour une limite, Taylor-Young suffit et évite d'avoir à majorer une dérivée d'ordre n+1n+1.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une valeur approchée de e avec une erreur chiffrée

Montrer que ∣e−∑k=0n1k!∣≤3(n+1)!\left|e-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right|\leq\dfrac{3}{(n+1)!}, puis donner une valeur approchée de ee à 10−310^{-3} près.

Corrigé

On applique Taylor-Lagrange à exp⁡\exp entre 00 et 11, à l'ordre nn : il existe c∈ ]0,1[c\in\,]0,1[ tel que

e=∑k=0n1k!+ec(n+1)!.e=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{e^{c}}{(n+1)!}.

Comme 0<ec<e<30<e^c<e<3, l'erreur est inférieure à 3(n+1)!\dfrac{3}{(n+1)!}. Pour n=6n=6, 37!=35040<10−3\dfrac{3}{7!}=\dfrac{3}{5040}<10^{-3}. Donc, à 10−310^{-3} près,

e≈1+1+12+16+124+1120+1720=1957720≈2,718.e\approx1+1+\frac12+\frac16+\frac1{24}+\frac1{120}+\frac1{720}=\frac{1957}{720}\approx2{,}718.

Exemple 2 — Un encadrement de sin x par le reste intégral

Montrer que pour tout x≥0x\geq0 : x−x36≤sin⁡x≤xx-\dfrac{x^3}{6}\leq\sin x\leq x.

Corrigé

Soit x≥0x\geq0. On écrit la formule de Taylor avec reste intégral en 00, et on utilise 1−cos⁡t≥01-\cos t\geq0.

Majoration. À l'ordre 00, sin⁡x=∫0xcos⁡t dt\sin x=\displaystyle\int_0^x\cos t\,\mathrm{d}t, donc x−sin⁡x=∫0x(1−cos⁡t) dt≥0x-\sin x=\displaystyle\int_0^x(1-\cos t)\,\mathrm{d}t\geq0.

Minoration. À l'ordre 22, avec sin⁡′′′=−cos⁡\sin'''=-\cos et T2(x)=xT_2(x)=x :

sin⁡x=x−∫0x(x−t)22cos⁡t dt.\sin x=x-\int_0^x\frac{(x-t)^2}{2}\cos t\,\mathrm{d}t.

Comme ∫0x(x−t)22 dt=x36\displaystyle\int_0^x\frac{(x-t)^2}{2}\,\mathrm{d}t=\frac{x^3}{6}, on obtient

sin⁡x−(x−x36)=∫0x(x−t)22 (1−cos⁡t) dt≥0,\sin x-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)=\int_0^x\frac{(x-t)^2}{2}\,(1-\cos t)\,\mathrm{d}t\geq0,

intégrale d'une fonction positive sur [0,x][0,x]. D'où l'encadrement.

Exemple 3 — Taylor-Young pour une limite

Calculer lim⁡x→0cos⁡x−1+x22x4\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}.

Corrigé

La fonction cos⁡\cos est de classe C∞C^\infty et ses dérivées successives en 00 valent 11, 00, −1-1, 00, 11. Taylor-Young à l'ordre 44 donne

cos⁡x=1−x22+x424+o(x4).\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4).

Donc cos⁡x−1+x22=x424+o(x4)\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4}{24}+o(x^4), et le quotient tend vers 124\dfrac{1}{24}.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle formule de Taylor choisir ?

Pour une limite ou un équivalent, Taylor-Young suffit : il décrit la fonction près du point. Pour une inégalité valable sur tout un intervalle, ou une valeur approchée avec une erreur chiffrée, il faut un reste explicite : Taylor-Lagrange, ou le reste intégral quand on veut une égalité exacte.

Quel lien entre la formule de Taylor et les accroissements finis ?

À l'ordre 0, la formule de Taylor-Lagrange est exactement le théorème des accroissements finis. Les ordres supérieurs ajoutent des termes au polynôme d'approximation et font apparaître la dérivée d'ordre n+1 dans le reste.

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À revoir, pour aller plus loin

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