Physique · Mécanique du point · chapitre 5 sur 5

Forces centrales et énergie

Mécanique du point, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Les théorèmes énergétiques renseignent sur le mouvement sans résoudre d'équation différentielle : une vitesse en fonction de la position, une hauteur atteinte, un domaine accessible. Le moment cinétique joue ce rôle pour les rotations. Ensemble, ils traitent les mouvements à force centrale, comme celui d'une planète ou d'un satellite.

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Ce que couvre le chapitre

  • Travail et puissance. P=F⃗⋅v⃗\mathcal{P}=\vec{F}\cdot\vec{v} en watts, et WA→B=∫ABF⃗⋅dOM→W_{A\to B}=\displaystyle\int_A^B\vec{F}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM} en joules, calculé le long du chemin suivi ; le travail est moteur s'il est positif, résistant s'il est négatif, nul pour une force perpendiculaire au déplacement.

  • Théorème de l'énergie cinétique. Dans un référentiel galiléen, Ec(B)−Ec(A)=∑WA→BE_c(B)-E_c(A)=\sum W_{A\to B}, avec Ec=12mv2E_c=\dfrac12mv^2 ; sous forme instantanée, dEcdt=∑P\dfrac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t}=\sum\mathcal{P}.

  • Forces conservatives. Leur travail ne dépend pas du chemin : WA→B=Ep(A)−Ep(B)W_{A\to B}=E_p(A)-E_p(B), et F⃗=−grad→ Ep\vec{F}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,E_p. À une constante près : mgzmgz pour le poids, avec OzOz vers le haut ; 12k(ℓ−ℓ0)2\dfrac12k(\ell-\ell_0)^2 pour un ressort ; −GmMr-\dfrac{\mathcal{G}mM}{r} pour l'attraction d'une masse MM.

  • Énergie mécanique. Em=Ec+EpE_m=E_c+E_p se conserve si les forces non conservatives ne travaillent pas ; sinon ΔEm=Wnc\Delta E_m=W_{\text{nc}}. Le mouvement n'a lieu que là où Ep≤EmE_p\leq E_m ; à une dimension, un minimum de EpE_p est un équilibre stable, un maximum un équilibre instable.

  • Moment cinétique. L⃗O=OM→∧mv⃗\vec{L}_O=\overrightarrow{OM}\wedge m\vec{v} ; pour OO fixe dans un référentiel galiléen, dL⃗Odt\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} est égal à la somme des moments des forces en OO.

  • Force centrale et loi des aires. Si F⃗\vec{F} est portée par la droite OMOM, son moment en OO est nul et L⃗O\vec{L}_O est constant : le mouvement est plan, et C=r2θ˙C=r^2\dot{\theta} est constant ; l'aire balayée par OM→\overrightarrow{OM} croît de C2\dfrac{C}{2} par seconde.

  • Potentiel effectif et mouvement képlérien. Em=12mr˙2+Ep,eff(r)E_m=\dfrac12m\dot{r}^2+E_{p,\text{eff}}(r), avec Ep,eff=mC22r2+Ep(r)E_{p,\text{eff}}=\dfrac{mC^2}{2r^2}+E_p(r). Pour Ep=−KrE_p=-\dfrac{K}{r}, K>0K>0, l'orbite est une ellipse si Em<0E_m<0, une parabole si Em=0E_m=0, une branche d'hyperbole si Em>0E_m>0 ; autour d'une masse MM, T2a3=4π2GM\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{\mathcal{G}M}, aa étant le demi-grand axe.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Calculer le travail d'une force le long d'un chemin donné, et reconnaître une force conservative.

  • Trouver une vitesse ou une hauteur par le théorème de l'énergie cinétique ou par la conservation de l'énergie mécanique, en justifiant que les forces non conservatives ne travaillent pas.

  • Discuter un mouvement sur le graphe de EpE_p : positions d'équilibre, stabilité, domaine accessible Ep≤EmE_p\leq E_m.

  • Montrer qu'un mouvement à force centrale est plan et vérifie la loi des aires r2θ˙=Cr^2\dot{\theta}=C, puis s'en servir pour relier vitesses et distances au centre.

  • Tracer l'énergie potentielle effective, distinguer états liés et états de diffusion, et étudier l'orbite circulaire : vitesse, période, troisième loi de Kepler.

L'erreur classique

Conserver l'énergie mécanique malgré un frottement

Un bloc part du repos et glisse sur une longueur LL le long d'une pente d'angle α\alpha, avec un coefficient de frottement ff. On écrit souvent 12mv2=mgLsin⁡α\dfrac12mv^2=mgL\sin\alpha, comme si l'énergie mécanique se conservait ; mais le frottement, opposé à la vitesse, a un travail négatif.

Le théorème de l'énergie cinétique oblige à lister les travaux : mgLsin⁡αmgL\sin\alpha pour le poids ; zéro pour la réaction normale, perpendiculaire au déplacement ; −f mgcos⁡α L-f\,mg\cos\alpha\,L pour le frottement, de norme f mgcos⁡αf\,mg\cos\alpha pendant le glissement. D'où

12mv2=mgL (sin⁡α−fcos⁡α).\frac12mv^2=mgL\,(\sin\alpha-f\cos\alpha).

On ne conserve EmE_m qu'après avoir vérifié que les forces non conservatives ne travaillent pas, comme la tension du fil d'un pendule.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Vitesse et tension d'un pendule

Un pendule simple, de longueur ℓ=0,80 m\ell=0{,}80\,\mathrm{m} et de masse m=0,50 kgm=0{,}50\,\mathrm{kg}, est lâché sans vitesse depuis un angle θ0=60∘\theta_0=60^\circ avec la verticale. Avec g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}, calculer la vitesse au passage par la verticale, puis la tension du fil à cet instant.

Corrigé

Vitesse. Dans le référentiel terrestre, galiléen, la tension est perpendiculaire à la vitesse et ne travaille pas : l'énergie mécanique se conserve. La masse descend de ℓ(1−cos⁡θ0)=0,40 m\ell(1-\cos\theta_0)=0{,}40\,\mathrm{m}, d'où

v=2gℓ(1−cos⁡θ0)=2×9,8×0,40≈2,8 m⋅s−1.v=\sqrt{2g\ell(1-\cos\theta_0)}=\sqrt{2\times9{,}8\times0{,}40}\approx2{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Tension. À la verticale, l'accélération tangentielle est nulle ; l'accélération est centripète, de norme v2ℓ\dfrac{v^2}{\ell}. En projection sur la verticale, T−mg=mv2ℓT-mg=m\dfrac{v^2}{\ell}, d'où T=mg (3−2cos⁡θ0)=2mg≈9,8 NT=mg\,(3-2\cos\theta_0)=2mg\approx9{,}8\,\mathrm{N} : le double du poids.

Exemple 2 — L'orbite circulaire d'un satellite

Un satellite décrit une orbite circulaire à h=400 kmh=400\,\mathrm{km} d'altitude. On donne GMT=3,99⋅1014 m3⋅s−2\mathcal{G}M_T=3{,}99\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3\cdot s^{-2}} et RT=6,37⋅106 mR_T=6{,}37\cdot10^6\,\mathrm{m}. Calculer sa vitesse et sa période, et retrouver la troisième loi de Kepler.

Corrigé

Dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, l'attraction terrestre est centrale ; sur un cercle de rayon r=RT+h=6,77⋅106 mr=R_T+h=6{,}77\cdot10^6\,\mathrm{m}, la loi des aires impose θ˙\dot{\theta} constant, et l'accélération est centripète. Le principe fondamental projeté sur u⃗r\vec{u}_r donne

mv2r=GMTmr2,d’ouˋv=GMTr≈7,68⋅103 m⋅s−1.m\frac{v^2}{r}=\frac{\mathcal{G}M_Tm}{r^2},\qquad\text{d'où}\qquad v=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M_T}{r}}\approx7{,}68\cdot10^3\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

La période vaut T=2πrv≈5,54⋅103 sT=\dfrac{2\pi r}{v}\approx5{,}54\cdot10^3\,\mathrm{s}, environ 92 min92\,\mathrm{min}. En éliminant vv : T2=4π2r3GMTT^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{\mathcal{G}M_T}, la troisième loi de Kepler, avec le même rapport T2r3\dfrac{T^2}{r^3} pour tous les satellites de la Terre.

Exemple 3 — Vitesses au périgée et à l'apogée

Un satellite suit une orbite elliptique autour de la Terre, à la distance rP=7,0⋅106 mr_P=7{,}0\cdot10^6\,\mathrm{m} du centre de la Terre au périgée et rA=1,4⋅107 mr_A=1{,}4\cdot10^7\,\mathrm{m} à l'apogée. Avec GMT=3,99⋅1014 m3⋅s−2\mathcal{G}M_T=3{,}99\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3\cdot s^{-2}}, calculer ses vitesses en ces deux points.

Corrigé

Au périgée et à l'apogée, et en ces points seulement, la vitesse est perpendiculaire au rayon, donc C=r2θ˙=rvC=r^2\dot{\theta}=rv. La loi des aires donne rPvP=rAvAr_Pv_P=r_Av_A, soit vA=vP2v_A=\dfrac{v_P}{2}. L'énergie mécanique, divisée par la masse du satellite, se conserve :

12vP2−GMTrP=12vA2−GMTrA.\frac12v_P^2-\frac{\mathcal{G}M_T}{r_P}=\frac12v_A^2-\frac{\mathcal{G}M_T}{r_A}.

Avec vA=vP2v_A=\dfrac{v_P}{2} et rA=2rPr_A=2r_P : 38vP2=GMT2rP\dfrac38v_P^2=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{2r_P}, d'où vP=4GMT3rP≈8,7⋅103 m⋅s−1v_P=\sqrt{\dfrac{4\mathcal{G}M_T}{3r_P}}\approx8{,}7\cdot10^3\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} et vA≈4,4⋅103 m⋅s−1v_A\approx4{,}4\cdot10^3\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi un mouvement à force centrale est-il plan ?

Parce que le moment de la force par rapport au centre est nul, la force étant portée par la droite qui joint le centre au point. Le moment cinétique par rapport au centre est donc un vecteur constant. Le vecteur position lui est toujours perpendiculaire : le point reste dans le plan qui passe par le centre et qui est perpendiculaire à ce vecteur.

Que représente l'énergie potentielle effective ?

C'est l'énergie potentielle réelle augmentée du terme m C² / (2 r²), qui provient de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique. Grâce à elle, l'énergie mécanique s'écrit comme celle d'un mouvement à une seule variable, la distance r au centre. Les distances accessibles sont celles où l'énergie potentielle effective reste inférieure ou égale à l'énergie mécanique.

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À revoir, pour aller plus loin

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