Physique · Électrostatique · chapitre 2 sur 4

Étude discrète des charges

Électrostatique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Deux charges ponctuelles immobiles exercent l'une sur l'autre une force qui varie comme l'inverse du carré de leur distance : c'est la loi de Coulomb. Ce chapitre en tire le champ et le potentiel électrostatiques, montre comment les ajouter pour plusieurs charges par le principe de superposition, calcule l'énergie d'un système de charges, et termine par le dipôle, deux charges opposées vues de loin.

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Ce que couvre le chapitre

  • Charge électrique. Grandeur algébrique mesurée en coulombs, conservée dans un système isolé et quantifiée : toute charge observée est un multiple entier de la charge élémentaire e≈1,602×10−19 Ce\approx1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}. Une charge dont les dimensions sont petites devant les distances étudiées est dite ponctuelle.

  • Loi de Coulomb. Deux charges ponctuelles q1q_1 en M1M_1 et q2q_2 en M2M_2, immobiles dans le vide : F⃗1→2=q1q24πε0 r2 u⃗12\vec{F}_{1\to2}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vec{u}_{12}, avec r=M1M2r=M_1M_2 et u⃗12\vec{u}_{12} unitaire de M1M_1 vers M2M_2 ; 14πε0≈9,0×109 N⋅m2⋅C−2\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx9{,}0\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2\cdot C^{-2}}. La force est répulsive si les charges sont de même signe, et F⃗2→1=−F⃗1→2\vec{F}_{2\to1}=-\vec{F}_{1\to2}.

  • Champ électrostatique. Une charge qq placée en MM subit F⃗=q E⃗(M)\vec{F}=q\,\vec{E}(M), le champ E⃗\vec{E} s'exprimant en V⋅m−1\mathrm{V\cdot m^{-1}}. Une charge ponctuelle QQ en OO crée E⃗(M)=Q4πε0 r2 u⃗r\vec{E}(M)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vec{u}_r, avec r=OMr=OM. Principe de superposition : le champ de plusieurs charges est la somme vectorielle des champs que chacune créerait seule.

  • Potentiel électrostatique. E⃗=−grad→ V\vec{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V : la circulation de E⃗\vec{E} de AA à BB vaut V(A)−V(B)V(A)-V(B) et ne dépend pas du chemin. Pour une charge ponctuelle, V(M)=Q4πε0 rV(M)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r} en choisissant VV nul à l'infini ; pour plusieurs charges, on ajoute ces potentiels, ce qui est une somme de nombres et non de vecteurs.

  • Lignes de champ et équipotentielles. Une ligne de champ est tangente à E⃗\vec{E} en chacun de ses points et orientée dans son sens ; elle part d'une charge positive ou de l'infini, et aboutit à une charge négative ou à l'infini. Elle coupe à angle droit les surfaces équipotentielles V=cteV=\text{cte}, dans le sens des potentiels décroissants.

  • Énergie potentielle. Une charge qq placée en MM a l'énergie potentielle Ep=qV(M)E_p=qV(M), et la force électrique fournit le travail WA→B=q(V(A)−V(B))W_{A\to B}=q\big(V(A)-V(B)\big). Deux charges ponctuelles ont l'énergie d'interaction q1q24πε0 r12\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r_{12}} : c'est le travail qu'un opérateur doit fournir pour les amener de l'infini à la distance r12r_{12}. Pour NN charges, on ajoute les énergies de toutes les paires.

  • Dipôle électrostatique. Une charge −q-q en NN et une charge +q+q en PP, de moment dipolaire p⃗=q NP→\vec{p}=q\,\overrightarrow{NP}, en C⋅m\mathrm{C\cdot m}. À une distance rr grande devant NPNP, V=pcos⁡θ4πε0 r2V=\dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}, où θ\theta est l'angle entre p⃗\vec{p} et OM→\overrightarrow{OM} : le potentiel décroît en 1r2\dfrac{1}{r^2} et le champ en 1r3\dfrac{1}{r^3}.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Calculer la force exercée sur une charge par plusieurs autres : chaque force par la loi de Coulomb, projetée sur des axes, puis la somme vectorielle.

  • Utiliser les symétries d'une configuration de charges pour prévoir la direction du champ en un point, avant tout calcul.

  • Calculer le champ et le potentiel créés en un point par quelques charges ponctuelles, et trouver les points où le champ s'annule.

  • Passer du potentiel au champ par E⃗=−grad→ V\vec{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V, et du champ au potentiel par la circulation.

  • Calculer le travail de la force électrique sur une charge qui se déplace, et l'énergie d'interaction d'un système de charges.

  • Établir le potentiel et le champ d'un dipôle à grande distance par un développement limité, et tracer l'allure de ses lignes de champ et de ses équipotentielles.

L'erreur classique

Croire que le champ est nul là où le potentiel est nul

Une charge +q+q en AA et une charge −q-q en BB sont à la distance 2a2a l'une de l'autre ; en leur milieu OO, les potentiels se compensent :

V(O)=q4πε0 a−q4πε0 a=0.V(O)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,a}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,a}=0.

On en conclut parfois que le champ est nul en OO. C'est faux : la charge +q+q y crée un champ dirigé de AA vers BB, et la charge −q-q un champ dirigé vers BB, lui aussi. Les deux s'ajoutent, et avec u⃗AB\vec{u}_{AB} unitaire de AA vers BB :

E⃗(O)=2q4πε0 a2 u⃗AB.\vec{E}(O)=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_0\,a^2}\,\vec{u}_{AB}.

Le champ ne dépend pas de la valeur du potentiel en un point, mais de la façon dont il varie autour : E⃗=−grad→ V\vec{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V. Le long de ABAB, VV passe de valeurs positives près de AA à des valeurs négatives près de BB : il décroît en OO, où son gradient n'est pas nul.

L'inverse existe aussi : au milieu de deux charges égales à +q+q, le champ est nul, mais le potentiel vaut 2q4πε0 a\dfrac{2q}{4\pi\varepsilon_0\,a}.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Force, champ et énergie au sommet d'un triangle

Deux charges q1=q2=2,0 μCq_1=q_2=2{,}0\,\mathrm{\mu C} sont placées en A(−3 cm, 0)A(-3\,\mathrm{cm},\,0) et B(3 cm, 0)B(3\,\mathrm{cm},\,0). Une charge q3=1,0 μCq_3=1{,}0\,\mathrm{\mu C} est en C(0, 4 cm)C(0,\,4\,\mathrm{cm}). Calculer la force subie par q3q_3, le champ en CC, puis le travail à fournir pour amener q3q_3 de l'infini jusqu'en CC. On prend 14πε0=9,0×109 SI\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9{,}0\times10^9\,\mathrm{SI}.

Corrigé

Symétrie. Le plan médiateur de [AB][AB] est un plan de symétrie des charges q1q_1 et q2q_2 : en CC, qui lui appartient, la force est portée par u⃗y\vec{u}_y. Le calcul le confirme.

Force. AC=BC=5 cmAC=BC=5\,\mathrm{cm}, et chaque charge exerce sur q3q_3 une force répulsive de norme

F=q1q34πε0 AC2=9,0×109×2,0×10−6×1,0×10−6(0,05)2=7,2 N,F=\frac{q_1q_3}{4\pi\varepsilon_0\,AC^2}=\frac{9{,}0\times10^9\times2{,}0\times10^{-6}\times1{,}0\times10^{-6}}{(0{,}05)^2}=7{,}2\,\mathrm{N},

dirigée selon AC→AC=(0,6 ; 0,8)\dfrac{\overrightarrow{AC}}{AC}=(0{,}6\,;\,0{,}8) pour l'une et BC→BC=(−0,6 ; 0,8)\dfrac{\overrightarrow{BC}}{BC}=(-0{,}6\,;\,0{,}8) pour l'autre. Les composantes selon u⃗x\vec{u}_x se compensent, celles selon u⃗y\vec{u}_y s'ajoutent : F⃗=2×7,2×0,8 u⃗y≈11,5 u⃗y\vec{F}=2\times7{,}2\times0{,}8\,\vec{u}_y\approx11{,}5\,\vec{u}_y, en newtons. Ajouter les normes donnerait 14,4 N14{,}4\,\mathrm{N}, à tort.

Champ. E⃗(C)=F⃗q3≈1,15×107 u⃗y\vec{E}(C)=\dfrac{\vec{F}}{q_3}\approx1{,}15\times10^7\,\vec{u}_y, en V⋅m−1\mathrm{V\cdot m^{-1}}.

Travail. V(C)=2×9,0×109×2,0×10−60,05=7,2×105 VV(C)=2\times\dfrac{9{,}0\times10^9\times2{,}0\times10^{-6}}{0{,}05}=7{,}2\times10^5\,\mathrm{V}. L'opérateur fournit q3 V(C)=0,72 Jq_3\,V(C)=0{,}72\,\mathrm{J}, l'énergie potentielle de q3q_3 en CC, le potentiel étant nul à l'infini.

Exemple 2 — Le point où le champ s'annule

Une charge q>0q>0 est en AA et une charge 4q4q en BB, avec AB=d=30 cmAB=d=30\,\mathrm{cm}. En quel point le champ électrostatique est-il nul ? Que vaut le potentiel en ce point ?

Corrigé

Où chercher. Hors de la droite (AB)(AB), les deux champs ne sont pas colinéaires et ne peuvent pas se compenser. Sur la droite, hors du segment [AB][AB], ils ont le même sens, puisque les charges sont de même signe. Le point cherché est donc sur le segment, à une distance xx de AA, où les deux champs sont de sens opposés.

Égalité des normes.

q4πε0 x2=4q4πε0 (d−x)2⟹d−x=2x⟹x=d3=10 cm,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,x^2}=\frac{4q}{4\pi\varepsilon_0\,(d-x)^2}\quad\Longrightarrow\quad d-x=2x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{3}=10\,\mathrm{cm},

en gardant la racine positive, puisque 0<x<d0<x<d. Le point est du côté de la charge qq, la plus petite des deux, ce qui est cohérent.

Potentiel. V=14πε0(qd/3+4q2d/3)=9q4πε0 dV=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q}{d/3}+\dfrac{4q}{2d/3}\right)=\dfrac{9q}{4\pi\varepsilon_0\,d}, qui n'est pas nul : un champ nul dit que VV est stationnaire en ce point, pas que VV s'y annule.

Exemple 3 — Le potentiel et le champ d'un dipôle vu de loin

Une charge −q-q est en NN et une charge +q+q en PP, avec NP=dNP=d. On prend l'origine OO au milieu de [NP][NP] et l'axe OzOz selon NP→\overrightarrow{NP} ; un point MM est repéré par ses coordonnées sphériques (r,θ)(r,\theta), avec r≫dr\gg d. Établir le potentiel en MM au premier ordre en dr\dfrac{d}{r}, puis le champ.

Corrigé

Potentiel. Par superposition, V(M)=q4πε0(1PM−1NM)V(M)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{PM}-\dfrac{1}{NM}\right). Comme PM→=OM→−d2 u⃗z\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{OM}-\dfrac{d}{2}\,\vec{u}_z, on a PM2=r2−rdcos⁡θ+d24PM^2=r^2-rd\cos\theta+\dfrac{d^2}{4}, et au premier ordre

1PM≈1r(1+d2rcos⁡θ),1NM≈1r(1−d2rcos⁡θ).\frac{1}{PM}\approx\frac{1}{r}\left(1+\frac{d}{2r}\cos\theta\right),\qquad\frac{1}{NM}\approx\frac{1}{r}\left(1-\frac{d}{2r}\cos\theta\right).

Donc V(M)≈qdcos⁡θ4πε0 r2=pcos⁡θ4πε0 r2V(M)\approx\dfrac{qd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}=\dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}, avec p=qdp=qd.

Champ. Le gradient en sphériques donne Er=−∂V∂r=2pcos⁡θ4πε0 r3E_r=-\dfrac{\partial V}{\partial r}=\dfrac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0\,r^3} et Eθ=−1r∂V∂θ=psin⁡θ4πε0 r3E_\theta=-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial\theta}=\dfrac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0\,r^3}, avec Eφ=0E_\varphi=0.

Contrôle sur l'axe (θ=0\theta=0). Le calcul exact donne E=q4πε0(1(r−d/2)2−1(r+d/2)2)=q4πε0 2rd(r2−d2/4)2E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{(r-d/2)^2}-\dfrac{1}{(r+d/2)^2}\right)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2rd}{(r^2-d^2/4)^2}, qui tend bien vers 2p4πε0 r3\dfrac{2p}{4\pi\varepsilon_0\,r^3} quand d≪rd\ll r.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi calculer le potentiel plutôt que le champ ?

Le potentiel est un nombre : celui de plusieurs charges est une simple somme, alors que leurs champs sont des vecteurs qu'il faut projeter avant de les ajouter. Une fois le potentiel connu, le champ s'en déduit par le gradient. Le potentiel donne aussi directement l'énergie potentielle d'une charge et le travail de la force électrique.

Le potentiel électrostatique est-il défini de façon unique ?

Non, il est défini à une constante près : seules les différences de potentiel ont un sens physique, et le champ, qui en est le gradient, ne dépend pas de cette constante. Pour un nombre fini de charges ponctuelles, on choisit en général le potentiel nul à l'infini ; celui d'une charge seule est alors inversement proportionnel à la distance.

Qu'est-ce qu'un dipôle électrostatique ?

C'est un ensemble de deux charges opposées, -q et +q, séparées par une petite distance d, décrit par son moment dipolaire, de norme qd, dirigé de la charge négative vers la charge positive. Vu de loin, son potentiel décroît comme l'inverse du carré de la distance et son champ comme l'inverse du cube, plus vite que pour une charge seule. Une molécule polaire, comme celle de l'eau, se modélise ainsi.

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À revoir, pour aller plus loin

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