Physique · Mécanique du point · chapitre 2 sur 5

Systèmes de coordonnées et cinématique du point matériel

Mécanique du point, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

La cinématique décrit le mouvement sans en chercher les causes : position, vitesse et accélération d'un point dans un référentiel donné. Le choix des coordonnées en est le premier geste : cartésiennes pour une trajectoire rectiligne, polaires ou cylindriques dès qu'il y a rotation autour d'un axe, sphériques pour un mouvement autour d'un point.

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Ce que couvre le chapitre

  • Vecteurs cinématiques. Dans un référentiel R\mathcal{R} d'origine OO : v⃗=dOM→dt\vec{v}=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t} et a⃗=dv⃗dt\vec{a}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}, dérivées prises dans R\mathcal{R} ; trajectoire, équations horaires, et hodographe, la courbe décrite par l'extrémité de v⃗\vec{v} tracé depuis un point fixe.

  • Cartésiennes. La base (u⃗x,u⃗y,u⃗z)(\vec{u}_x,\vec{u}_y,\vec{u}_z) est fixe : on dérive les seules composantes, v⃗=x˙ u⃗x+y˙ u⃗y+z˙ u⃗z\vec{v}=\dot{x}\,\vec{u}_x+\dot{y}\,\vec{u}_y+\dot{z}\,\vec{u}_z et a⃗=x¨ u⃗x+y¨ u⃗y+z¨ u⃗z\vec{a}=\ddot{x}\,\vec{u}_x+\ddot{y}\,\vec{u}_y+\ddot{z}\,\vec{u}_z.

  • Polaires (mouvement plan) : OM→=r u⃗r\overrightarrow{OM}=r\,\vec{u}_r, θ\theta étant l'angle orienté de u⃗x\vec{u}_x à OM→\overrightarrow{OM} ; la base (u⃗r,u⃗θ)(\vec{u}_r,\vec{u}_\theta) tourne avec le point, et v⃗=r˙ u⃗r+rθ˙ u⃗θ\vec{v}=\dot{r}\,\vec{u}_r+r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta, a⃗=(r¨−rθ˙2) u⃗r+(rθ¨+2r˙θ˙) u⃗θ\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\,\vec{u}_\theta.

  • Cylindriques : les polaires complétées par la cote zz, rr désignant la distance à l'axe OzOz ; OM→=r u⃗r+z u⃗z\overrightarrow{OM}=r\,\vec{u}_r+z\,\vec{u}_z, et la vitesse et l'accélération reçoivent les termes z˙ u⃗z\dot{z}\,\vec{u}_z et z¨ u⃗z\ddot{z}\,\vec{u}_z.

  • Sphériques (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi) : r=OMr=OM, cette fois distance à OO ; θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi], angle entre u⃗z\vec{u}_z et OM→\overrightarrow{OM} ; φ\varphi, angle autour de OzOz. Alors OM→=r u⃗r\overrightarrow{OM}=r\,\vec{u}_r et v⃗=r˙ u⃗r+rθ˙ u⃗θ+rsin⁡θ φ˙ u⃗φ\vec{v}=\dot{r}\,\vec{u}_r+r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta+r\sin\theta\,\dot{\varphi}\,\vec{u}_\varphi.

  • Mouvements types. Rectiligne, uniforme ou uniformément varié ; circulaire de rayon RR, avec a⃗=−Rθ˙2 u⃗r+Rθ¨ u⃗θ\vec{a}=-R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r+R\ddot{\theta}\,\vec{u}_\theta, centripète et de norme v2R\dfrac{v^2}{R} s'il est uniforme ; hélicoïdal, rotation uniforme autour de OzOz et translation uniforme le long de OzOz.

  • Uniforme, accéléré, ralenti. Comme d(v2)dt=2 v⃗⋅a⃗\dfrac{\mathrm{d}(v^2)}{\mathrm{d}t}=2\,\vec{v}\cdot\vec{a}, le mouvement est accéléré si v⃗⋅a⃗>0\vec{v}\cdot\vec{a}>0 et ralenti si v⃗⋅a⃗<0\vec{v}\cdot\vec{a}<0 ; uniforme ne veut pas dire sans accélération dès que la trajectoire est courbe.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Choisir le système de coordonnées adapté au mouvement et exprimer OM→\overrightarrow{OM} dans la base correspondante.

  • Établir la vitesse et l'accélération en polaires ou en cylindriques en dérivant aussi les vecteurs de base, plutôt que de réciter les formules.

  • Passer d'un système à l'autre : x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta, et écrire u⃗r\vec{u}_r et u⃗θ\vec{u}_\theta dans la base cartésienne.

  • Trouver l'équation de la trajectoire en éliminant le temps entre les équations horaires, et décrire l'hodographe.

  • Calculer une norme de vitesse ou d'accélération, une période, le pas d'une hélice, et dire si le mouvement est uniforme, accéléré ou ralenti.

L'erreur classique

Dériver les composantes sans dériver la base

À partir de v⃗=r˙ u⃗r+rθ˙ u⃗θ\vec{v}=\dot{r}\,\vec{u}_r+r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta, on écrit parfois a⃗=r¨ u⃗r+d(rθ˙)dt u⃗θ\vec{a}=\ddot{r}\,\vec{u}_r+\dfrac{\mathrm{d}(r\dot{\theta})}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_\theta. Pour un mouvement circulaire uniforme, cette formule donne a⃗=0⃗\vec{a}=\vec{0}, alors que la vitesse change de direction à chaque instant.

La base polaire tourne avec le point : il faut aussi dériver u⃗r\vec{u}_r et u⃗θ\vec{u}_\theta, avec du⃗rdt=θ˙ u⃗θ\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_r}{\mathrm{d}t}=\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta et du⃗θdt=−θ˙ u⃗r\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_\theta}{\mathrm{d}t}=-\dot{\theta}\,\vec{u}_r :

a⃗=r¨ u⃗r+r˙θ˙ u⃗θ+(r˙θ˙+rθ¨) u⃗θ−rθ˙2 u⃗r,\vec{a}=\ddot{r}\,\vec{u}_r+\dot{r}\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta+(\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\vec{u}_\theta-r\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r,

soit a⃗=(r¨−rθ˙2) u⃗r+(rθ¨+2r˙θ˙) u⃗θ\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\,\vec{u}_\theta. Les termes oubliés, −rθ˙2 u⃗r-r\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r et un second r˙θ˙ u⃗θ\dot{r}\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta, viennent de la rotation de la base.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Un mouvement hélicoïdal

En coordonnées cylindriques, un point se déplace selon r=Rr=R, θ=ωt\theta=\omega t et z=btz=bt, avec R=0,40 mR=0{,}40\,\mathrm{m}, ω=2,0 rad⋅s−1\omega=2{,}0\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} et b=0,60 m⋅s−1b=0{,}60\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}. Calculer sa vitesse et son accélération, le pas de l'hélice, et décrire l'hodographe.

Corrigé

Avec r˙=0\dot{r}=0, θ˙=ω\dot{\theta}=\omega, θ¨=0\ddot{\theta}=0 et z˙=b\dot{z}=b, les formules des cylindriques donnent

v⃗=Rω u⃗θ+b u⃗z,a⃗=−Rω2 u⃗r.\vec{v}=R\omega\,\vec{u}_\theta+b\,\vec{u}_z,\qquad\vec{a}=-R\omega^2\,\vec{u}_r.
  • Vitesse : (Rω)2+b2=0,802+0,602=1,0 m⋅s−1\sqrt{(R\omega)^2+b^2}=\sqrt{0{,}80^2+0{,}60^2}=1{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}, constante : le mouvement est uniforme.
  • Accélération : dirigée vers l'axe, de norme Rω2=0,40×2,02=1,6 m⋅s−2R\omega^2=0{,}40\times2{,}0^2=1{,}6\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.
  • Pas : un tour dure 2πω≈3,14 s\dfrac{2\pi}{\omega}\approx3{,}14\,\mathrm{s}, pendant lesquels le point monte de 2πbω≈1,9 m\dfrac{2\pi b}{\omega}\approx1{,}9\,\mathrm{m}.
  • Hodographe : un cercle de rayon Rω=0,80 m⋅s−1R\omega=0{,}80\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}, dans le plan vz=bv_z=b.

Exemple 2 — Une spirale parcourue à vitesse angulaire constante

Un point décrit, en polaires, la spirale r=r0 ekθr=r_0\,e^{k\theta} avec θ=ωt\theta=\omega t, où r0r_0, kk et ω\omega sont des constantes positives. Montrer que l'angle entre v⃗\vec{v} et u⃗r\vec{u}_r est constant, et exprimer la norme de l'accélération en fonction de rr.

Corrigé

On dérive r=r0 ekωtr=r_0\,e^{k\omega t} : r˙=kω r\dot{r}=k\omega\,r et r¨=k2ω2 r\ddot{r}=k^2\omega^2\,r, avec θ˙=ω\dot{\theta}=\omega et θ¨=0\ddot{\theta}=0.

Vitesse. v⃗=kωr u⃗r+ωr u⃗θ\vec{v}=k\omega r\,\vec{u}_r+\omega r\,\vec{u}_\theta : l'angle β\beta entre v⃗\vec{v} et u⃗r\vec{u}_r vérifie tan⁡β=vθvr=1k\tan\beta=\dfrac{v_\theta}{v_r}=\dfrac1k, indépendant du point. C'est la spirale logarithmique, dite aussi équiangle.

Accélération.

a⃗=(r¨−rθ˙2) u⃗r+2r˙θ˙ u⃗θ=(k2−1) ω2r u⃗r+2k ω2r u⃗θ.\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r+2\dot{r}\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta=(k^2-1)\,\omega^2r\,\vec{u}_r+2k\,\omega^2r\,\vec{u}_\theta.

Comme (k2−1)2+4k2=(k2+1)2(k^2-1)^2+4k^2=(k^2+1)^2, on obtient ∥a⃗∥=(1+k2) ω2r\|\vec{a}\|=(1+k^2)\,\omega^2r : l'accélération est proportionnelle à la distance au centre.

Exemple 3 — Un virage pris en accélérant

Une voiture, assimilée à un point, part du repos sur une piste circulaire de rayon R=100 mR=100\,\mathrm{m}, avec une accélération tangentielle constante at=1,5 m⋅s−2a_t=1{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}. Calculer sa vitesse et la norme de son accélération au bout de 10 s10\,\mathrm{s}.

Corrigé

En polaires centrées sur la piste, avec θ\theta croissant dans le sens du mouvement : r=Rr=R, donc v⃗=Rθ˙ u⃗θ\vec{v}=R\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta et a⃗=−Rθ˙2 u⃗r+Rθ¨ u⃗θ\vec{a}=-R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r+R\ddot{\theta}\,\vec{u}_\theta. La composante tangentielle Rθ¨=atR\ddot{\theta}=a_t est constante, donc v=att=15 m⋅s−1v=a_tt=15\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} à t=10 st=10\,\mathrm{s}.

La composante normale vaut alors Rθ˙2=v2R=152100=2,25 m⋅s−2R\dot{\theta}^2=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{15^2}{100}=2{,}25\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}, vers le centre, d'où

∥a⃗∥=2,252+1,52≈2,7 m⋅s−2.\|\vec{a}\|=\sqrt{2{,}25^2+1{,}5^2}\approx2{,}7\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.

La composante centripète croît comme t2t^2 et finit par dominer.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi l'accélération n'est-elle pas nulle dans un mouvement circulaire uniforme ?

Parce que la vitesse change de direction à chaque instant, même si sa norme reste constante. L'accélération mesure la variation du vecteur vitesse, pas seulement celle de sa norme. Dans un mouvement circulaire uniforme de rayon R, elle est dirigée vers le centre et vaut v au carré divisé par R.

Quand utiliser les coordonnées cylindriques plutôt que cartésiennes ?

Dès que le mouvement s'organise autour d'un axe : rotation, trajectoire circulaire, hélice, point qui glisse sur une tige en rotation. La distance à l'axe et l'angle deviennent alors des fonctions simples du temps, souvent constantes ou proportionnelles à t. En cartésiennes, le même mouvement demanderait des sinus et des cosinus à chaque ligne.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Systèmes de coordonnées et cinématique du point matériel » (Mécanique du point) ?

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