Physique · Mécanique du point · chapitre 3 sur 5

Changements de référentiels

Mécanique du point, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Un même mouvement se décrit différemment selon le référentiel : une valise posée sur un tapis roulant est immobile pour le tapis et avance pour le sol. Ce chapitre relie les vitesses et les accélérations mesurées dans deux référentiels en mouvement relatif, dans les deux cas du programme : translation, et rotation uniforme autour d'un axe fixe.

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Ce que couvre le chapitre

  • Cadre. En mécanique classique, temps et distances sont les mêmes dans tous les référentiels. Le référentiel relatif R′\mathcal{R}', d'origine O′O', se déplace par rapport au référentiel absolu R\mathcal{R} ; son mouvement est donné par la vitesse de O′O' et par son vecteur rotation Ω⃗\vec{\Omega}.

  • Dérivée dans deux référentiels. Pour tout vecteur A⃗\vec{A} : (dA⃗dt)R=(dA⃗dt)R′+Ω⃗∧A⃗\left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}}=\left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}'}+\vec{\Omega}\wedge\vec{A}.

  • Composition des vitesses. v⃗a=v⃗r+v⃗e\vec{v}_a=\vec{v}_r+\vec{v}_e, où v⃗e=v⃗(O′)R+Ω⃗∧O′M→\vec{v}_e=\vec{v}(O')_{\mathcal{R}}+\vec{\Omega}\wedge\overrightarrow{O'M} est la vitesse du point coïncident : le point fixe de R′\mathcal{R}' qui se trouve en MM à l'instant tt.

  • Composition des accélérations. a⃗a=a⃗r+a⃗e+a⃗c\vec{a}_a=\vec{a}_r+\vec{a}_e+\vec{a}_c, avec l'accélération de Coriolis a⃗c=2 Ω⃗∧v⃗r\vec{a}_c=2\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_r et l'accélération d'entraînement a⃗e=a⃗(O′)R+dΩ⃗dt∧O′M→+Ω⃗∧(Ω⃗∧O′M→)\vec{a}_e=\vec{a}(O')_{\mathcal{R}}+\dfrac{\mathrm{d}\vec{\Omega}}{\mathrm{d}t}\wedge\overrightarrow{O'M}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\overrightarrow{O'M}).

  • Translation (Ω⃗=0⃗\vec{\Omega}=\vec{0}) : v⃗e=v⃗(O′)\vec{v}_e=\vec{v}(O') et a⃗e=a⃗(O′)\vec{a}_e=\vec{a}(O') pour tous les points, et a⃗c=0⃗\vec{a}_c=\vec{0} ; en translation rectiligne uniforme, les accélérations sont les mêmes dans les deux référentiels.

  • Rotation uniforme autour d'un axe fixe passant par O′O' : v⃗e=Ω⃗∧O′M→\vec{v}_e=\vec{\Omega}\wedge\overrightarrow{O'M} et a⃗e=−Ω2 HM→\vec{a}_e=-\Omega^2\,\overrightarrow{HM}, où HH est le projeté orthogonal de MM sur l'axe : l'accélération d'entraînement est centripète.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Identifier le référentiel absolu, le référentiel relatif et leur mouvement relatif : translation, ou rotation de vecteur Ω⃗\vec{\Omega} autour d'un axe fixe.

  • Calculer une vitesse d'entraînement à l'aide du point coïncident, puis appliquer la composition des vitesses.

  • Écrire les trois termes de la composition des accélérations, et calculer l'accélération de Coriolis 2 Ω⃗∧v⃗r2\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_r, direction et sens compris.

  • Traiter les deux situations types : référentiel en translation (véhicule, roue) et référentiel en rotation uniforme (plateau, manège).

  • Contrôler un résultat en recalculant directement dans R\mathcal{R}, par exemple en coordonnées polaires.

L'erreur classique

Oublier l'accélération de Coriolis

Une tige horizontale tourne autour de l'axe vertical OzOz à la vitesse angulaire constante Ω\Omega, et une perle y glisse à la vitesse constante cc par rapport à la tige. On écrit parfois a⃗a=a⃗r+a⃗e=−Ω2r u⃗r\vec{a}_a=\vec{a}_r+\vec{a}_e=-\Omega^2r\,\vec{u}_r, une accélération purement radiale. Pourtant, en polaires, avec r˙=c\dot{r}=c et θ˙=Ω\dot{\theta}=\Omega, la composante orthoradiale vaut rθ¨+2r˙θ˙=2cΩr\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=2c\Omega.

Le terme oublié est l'accélération de Coriolis :

a⃗c=2 Ω⃗∧v⃗r=2Ω u⃗z∧c u⃗r=2cΩ u⃗θ.\vec{a}_c=2\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_r=2\Omega\,\vec{u}_z\wedge c\,\vec{u}_r=2c\Omega\,\vec{u}_\theta.

Avec lui, a⃗a=−Ω2r u⃗r+2cΩ u⃗θ\vec{a}_a=-\Omega^2r\,\vec{u}_r+2c\Omega\,\vec{u}_\theta, comme en polaires. Ce terme ne disparaît que si R′\mathcal{R}' est en translation, si le point y est immobile, ou si sa vitesse relative est parallèle à Ω⃗\vec{\Omega}.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Les vitesses d'une roue qui roule sans glisser

Une roue de rayon R=0,35 mR=0{,}35\,\mathrm{m} roule sans glisser sur un sol horizontal ; son centre CC avance à la vitesse constante v=5,0 m⋅s−1v=5{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} selon u⃗x\vec{u}_x. Calculer la vitesse, par rapport au sol, du point de la jante situé au sommet de la roue, puis l'accélération d'un point quelconque de la jante.

Corrigé

On prend pour R′\mathcal{R}' le référentiel du centre CC, en translation rectiligne uniforme par rapport au sol : v⃗e=v u⃗x\vec{v}_e=v\,\vec{u}_x partout, et a⃗e=a⃗c=0⃗\vec{a}_e=\vec{a}_c=\vec{0}. Dans R′\mathcal{R}', la jante tourne à vitesse angulaire ω\omega constante.

  • Sans glissement, le point de contact est immobile par rapport au sol ; sa vitesse relative étant −Rω u⃗x-R\omega\,\vec{u}_x, on a Rω=vR\omega=v.
  • Au sommet, la vitesse relative vaut +Rω u⃗x+R\omega\,\vec{u}_x, d'où v⃗a=2v u⃗x\vec{v}_a=2v\,\vec{u}_x, soit 10 m⋅s−110\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Accélération : a⃗a=a⃗r\vec{a}_a=\vec{a}_r, dirigée vers CC, de norme v2R=250,35≈71 m⋅s−2\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{25}{0{,}35}\approx71\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}, même au point de contact, dont la vitesse est nulle.

Exemple 2 — Marcher sur un plateau tournant

Un plateau horizontal tourne autour de l'axe vertical OzOz à Ω=0,40 rad⋅s−1\Omega=0{,}40\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}. Une personne, assimilée à un point, marche sur le plateau le long du cercle de rayon R=3,0 mR=3{,}0\,\mathrm{m} centré sur l'axe, dans le sens de la rotation, à u=0,60 m⋅s−1u=0{,}60\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} par rapport au plateau. Calculer son accélération par rapport au sol.

Corrigé

On prend R′\mathcal{R}' lié au plateau, Ω⃗=Ω u⃗z\vec{\Omega}=\Omega\,\vec{u}_z, et la base polaire qui suit la personne. Les trois termes sont radiaux, en m⋅s−2\mathrm{m\cdot s^{-2}} :

  • relatif, circulaire uniforme : a⃗r=−u2R u⃗r=−0,12 u⃗r\vec{a}_r=-\dfrac{u^2}{R}\,\vec{u}_r=-0{,}12\,\vec{u}_r ;
  • entraînement : a⃗e=−Ω2R u⃗r=−0,48 u⃗r\vec{a}_e=-\Omega^2R\,\vec{u}_r=-0{,}48\,\vec{u}_r ;
  • Coriolis : a⃗c=2Ω u⃗z∧u u⃗θ=−2Ωu u⃗r=−0,48 u⃗r\vec{a}_c=2\Omega\,\vec{u}_z\wedge u\,\vec{u}_\theta=-2\Omega u\,\vec{u}_r=-0{,}48\,\vec{u}_r.

Au total, a⃗a=−1,08 u⃗r\vec{a}_a=-1{,}08\,\vec{u}_r. Contrôle : par rapport au sol, la personne décrit le cercle à la vitesse constante va=u+ΩR=1,8 m⋅s−1v_a=u+\Omega R=1{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}, et va2R=3,243,0=1,08 m⋅s−2\dfrac{v_a^2}{R}=\dfrac{3{,}24}{3{,}0}=1{,}08\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}. Le terme de Coriolis pèse ici autant que l'entraînement.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Qu'est-ce que le point coïncident ?

C'est le point fixe du référentiel relatif qui se trouve à l'endroit du mobile à l'instant considéré. Sa vitesse et son accélération dans le référentiel absolu sont la vitesse et l'accélération d'entraînement. Ce n'est pas toujours le même point, puisque le mobile se déplace dans le référentiel relatif.

Quand l'accélération de Coriolis est-elle nulle ?

Elle vaut deux fois le produit vectoriel du vecteur rotation par la vitesse relative. Elle est donc nulle si le référentiel relatif est en translation, si le point y est immobile, ou si sa vitesse relative est parallèle à l'axe de rotation. Dans tous les autres cas, il faut l'écrire, même si la vitesse relative est constante.

Les accélérations sont-elles les mêmes dans deux référentiels différents ?

Seulement si l'un est en translation rectiligne uniforme par rapport à l'autre : les accélérations d'entraînement et de Coriolis sont alors nulles. C'est pour cela que la loi de Newton garde la même forme dans tous les référentiels galiléens, et qu'il faut lui ajouter des forces d'inertie dans un référentiel qui accélère ou qui tourne.

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