Physique · Mécanique du point · chapitre 4 sur 5

Dynamique du point matériel

Mécanique du point, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

La dynamique relie le mouvement à ses causes. Dans un référentiel galiléen, la somme des forces appliquées à un point est égale au produit de sa masse par son accélération : avec un bilan des forces soigneux, on en tire les équations du mouvement. Dans un référentiel qui accélère ou qui tourne, la même loi vaut si l'on ajoute les forces d'inertie.

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Ce que couvre le chapitre

  • Lois de Newton. Dans un référentiel galiléen, un point soumis à des forces qui se compensent est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (principe d'inertie), et ma⃗=∑F⃗m\vec{a}=\sum\vec{F} (principe fondamental de la dynamique) ; entre deux corps, F⃗A→B=−F⃗B→A\vec{F}_{A\to B}=-\vec{F}_{B\to A}.

  • Référentiels galiléens. Un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen l'est aussi. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des expériences brèves et localisées, le géocentrique pour le mouvement des satellites.

  • Forces usuelles. Poids mg⃗m\vec{g} ; tension d'un fil, portée par le fil ; force d'un ressort −k(ℓ−ℓ0) u⃗-k(\ell-\ell_0)\,\vec{u}, avec u⃗\vec{u} unitaire orienté du point d'attache vers la masse ; frottement fluide, modélisé par −αv⃗-\alpha\vec{v} aux faibles vitesses.

  • Réaction et lois de Coulomb. La réaction d'un support a une partie normale N⃗\vec{N} et une partie tangentielle T⃗\vec{T}, le frottement : sans glissement, ∥T⃗∥≤f ∥N⃗∥\|\vec{T}\|\leq f\,\|\vec{N}\| ; avec glissement, ∥T⃗∥=f ∥N⃗∥\|\vec{T}\|=f\,\|\vec{N}\| et T⃗\vec{T} s'oppose au glissement. Le contact cesse quand NN s'annule.

  • Méthode. Système, référentiel, bilan des forces sur un schéma, base adaptée, projection du principe fondamental, puis intégration avec les conditions initiales.

  • Référentiel non galiléen. ma⃗r=∑F⃗+F⃗ie+F⃗icm\vec{a}_r=\sum\vec{F}+\vec{F}_{ie}+\vec{F}_{ic}, avec la force d'inertie d'entraînement F⃗ie=−ma⃗e\vec{F}_{ie}=-m\vec{a}_e et la force d'inertie de Coriolis F⃗ic=−2m Ω⃗∧v⃗r\vec{F}_{ic}=-2m\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_r.

  • Deux cas usuels. En translation d'accélération a⃗0\vec{a}_0, F⃗ie=−ma⃗0\vec{F}_{ie}=-m\vec{a}_0 et pas de force de Coriolis ; en rotation uniforme autour d'un axe fixe, force centrifuge F⃗ie=mΩ2 HM→\vec{F}_{ie}=m\Omega^2\,\overrightarrow{HM}, plus la force de Coriolis si le point bouge dans R′\mathcal{R}'.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Faire un bilan des forces complet sur un schéma, après avoir précisé le système et le référentiel, et orienter les axes.

  • Projeter le principe fondamental et intégrer les équations du mouvement : chute libre, plan incliné, frottement fluide avec vitesse limite.

  • Utiliser les lois de Coulomb : décider s'il y a glissement, trouver un angle limite ou l'accélération d'un solide qui glisse.

  • Établir l'équation d'un oscillateur, ressort ou pendule simple aux petits angles, et en déduire sa période 2πmk2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} ou 2πℓg2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}.

  • Écrire les forces d'inertie dans un référentiel en translation ou en rotation uniforme, et étudier un équilibre relatif.

L'erreur classique

Prendre le frottement égal à f N alors que rien ne glisse

Un bloc est immobile sur un plan incliné de α=20∘\alpha=20^\circ, avec un coefficient de frottement f=0,50f=0{,}50. On écrit souvent « T=f N=f mgcos⁡α≈0,47 mgT=f\,N=f\,mg\cos\alpha\approx0{,}47\,mg ». Or l'équilibre, projeté le long de la pente, impose T=mgsin⁡α≈0,34 mgT=mg\sin\alpha\approx0{,}34\,mg ; avec la première valeur, le bloc au repos se mettrait à remonter la pente.

Sans glissement, la loi de Coulomb est une inégalité, ∥T⃗∥≤f ∥N⃗∥\|\vec{T}\|\leq f\,\|\vec{N}\|. On calcule T⃗\vec{T} par le principe fondamental, puis on vérifie l'inégalité : ici tan⁡α≤f\tan\alpha\leq f, vrai puisque tan⁡20∘≈0,36\tan20^\circ\approx0{,}36. L'égalité ne vaut que pendant un glissement, ou à sa limite.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une chute avec frottement fluide

Un objet de masse m=20 gm=20\,\mathrm{g} est lâché sans vitesse initiale ; l'air exerce sur lui une force modélisée par −αv⃗-\alpha\vec{v}, avec α=0,040 kg⋅s−1\alpha=0{,}040\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}. On prend g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}. Trouver v(t)v(t), la vitesse limite et la vitesse au bout de 1,0 s1{,}0\,\mathrm{s}.

Corrigé

Dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, avec OzOz vertical vers le bas, le principe fondamental projeté sur u⃗z\vec{u}_z donne

mdvdt=mg−αv,soitdvdt+vτ=g,τ=mα=0,50 s.m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg-\alpha v,\qquad\text{soit}\qquad\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\frac{v}{\tau}=g,\quad\tau=\frac{m}{\alpha}=0{,}50\,\mathrm{s}.

Avec v(0)=0v(0)=0 : v(t)=vℓ(1−e−t/τ)v(t)=v_\ell\left(1-e^{-t/\tau}\right), où vℓ=mgα=4,9 m⋅s−1v_\ell=\dfrac{mg}{\alpha}=4{,}9\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} est la vitesse limite, atteinte quand le frottement compense le poids. À t=1,0 s=2τt=1{,}0\,\mathrm{s}=2\tau, v=4,9×(1−e−2)≈4,2 m⋅s−1v=4{,}9\times(1-e^{-2})\approx4{,}2\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}, déjà 86 %86\,\% de vℓv_\ell.

Exemple 2 — Un virage sans dérapage

Une voiture, assimilée à un point, prend un virage plat de rayon R=60 mR=60\,\mathrm{m} à vitesse constante. Le coefficient de frottement entre les pneus et la route vaut f=0,70f=0{,}70 ; on prend g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}. Quelle vitesse ne faut-il pas dépasser ?

Corrigé

Dans le référentiel terrestre, galiléen, l'accélération est centripète : a⃗=−v2R u⃗r\vec{a}=-\dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_r. Les forces sont le poids, la réaction normale N⃗\vec{N} et le frottement latéral T⃗\vec{T} ; pas de force centrifuge dans ce référentiel. En projection, N=mgN=mg, et T⃗=−mv2R u⃗r\vec{T}=-m\dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_r : c'est le frottement, dirigé vers le centre, qui courbe la trajectoire. Pas de dérapage tant que ∥T⃗∥≤fN\|\vec{T}\|\leq fN, soit

v≤fgR=0,70×9,8×60≈20 m⋅s−1,v\leq\sqrt{fgR}=\sqrt{0{,}70\times9{,}8\times60}\approx20\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},

environ 73 km⋅h−173\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}, quelle que soit la masse.

Exemple 3 — Un pendule dans un wagon qui accélère

Une masse m=0,10 kgm=0{,}10\,\mathrm{kg}, au bout d'un fil, est suspendue au plafond d'un wagon dont l'accélération est horizontale et vaut a0=2,0 m⋅s−2a_0=2{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}. On prend g=9,8 m⋅s−2g=9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}. Trouver l'inclinaison du fil à l'équilibre dans le wagon, et la tension du fil.

Corrigé

Le wagon est en translation accélérée : dans son référentiel, non galiléen, la masse est immobile, et l'on ajoute la force d'inertie −ma⃗0-m\vec{a}_0 ; il n'y a pas de force de Coriolis. L'équilibre relatif s'écrit

T⃗+mg⃗−ma⃗0=0⃗.\vec{T}+m\vec{g}-m\vec{a}_0=\vec{0}.

Du point d'attache vers la masse, le fil est donc dirigé selon g⃗−a⃗0\vec{g}-\vec{a}_0 : il penche vers l'arrière d'un angle β\beta tel que tan⁡β=a0g=2,09,8\tan\beta=\dfrac{a_0}{g}=\dfrac{2{,}0}{9{,}8}, soit β≈11,5∘\beta\approx11{,}5^\circ, et T=mg2+a02≈1,0 NT=m\sqrt{g^2+a_0^2}\approx1{,}0\,\mathrm{N}. Mesurer β\beta donne l'accélération du wagon.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ?

C'est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : un point soumis à des forces qui se compensent y est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen l'est aussi. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des expériences brèves et localisées.

La force centrifuge existe-t-elle ?

Elle n'apparaît que si l'on écrit la loi de Newton dans un référentiel en rotation, qui n'est pas galiléen : c'est une force d'inertie, égale à moins la masse fois l'accélération d'entraînement. Dans un référentiel galiléen, on ne l'écrit pas, et c'est l'accélération centripète qui figure du côté de m a. Les deux descriptions donnent le même résultat, à condition de ne pas les mélanger.

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À revoir, pour aller plus loin

Mécanique du pointChangements de référentielsChangements de référentiels en Mécanique du point : composition des vitesses et des accélérations, entraînement, Coriolis, translation, rotation uniforme.Mécanique du pointForces centrales et énergieForces centrales et énergie en Mécanique du point : travail, puissance, énergies cinétique, potentielle et mécanique, moment cinétique, loi des aires, Kepler.

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