Physique · Mécanique du point · chapitre 1 sur 5

Analyse vectorielle

Mécanique du point, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Avant d'écrire une vitesse ou une force, il faut savoir manipuler les vecteurs qui les portent. Ce chapitre rassemble les outils dont la mécanique se sert sans cesse : produits scalaire, vectoriel et mixte, projection, dérivée d'un vecteur qui tourne, puis gradient et rotationnel, qui servent à reconnaître une force conservative.

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Ce que couvre le chapitre

  • Produit scalaire et projection. a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥ ∥b⃗∥cos⁡α=axbx+ayby+azbz\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\alpha=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z en base orthonormée, α\alpha étant l'angle des deux vecteurs. La composante de a⃗\vec{a} selon un vecteur unitaire u⃗\vec{u} est a⃗⋅u⃗\vec{a}\cdot\vec{u} ; sa projection orthogonale sur cette direction, (a⃗⋅u⃗) u⃗(\vec{a}\cdot\vec{u})\,\vec{u}.

  • Produit vectoriel. a⃗∧b⃗\vec{a}\wedge\vec{b} est orthogonal à a⃗\vec{a} et à b⃗\vec{b}, de norme ∥a⃗∥ ∥b⃗∥sin⁡α\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\alpha, et (a⃗,b⃗,a⃗∧b⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\wedge\vec{b}) est direct ; il est antisymétrique, nul pour deux vecteurs colinéaires, et u⃗x∧u⃗y=u⃗z\vec{u}_x\wedge\vec{u}_y=\vec{u}_z dans une base orthonormée directe.

  • Produit mixte et double produit vectoriel. (a⃗∧b⃗)⋅c⃗(\vec{a}\wedge\vec{b})\cdot\vec{c} est le volume orienté du parallélépipède construit sur les trois vecteurs, nul s'ils sont coplanaires. Le produit vectoriel n'est pas associatif : a⃗∧(b⃗∧c⃗)=(a⃗⋅c⃗) b⃗−(a⃗⋅b⃗) c⃗\vec{a}\wedge(\vec{b}\wedge\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\,\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\,\vec{c}.

  • Dérivée d'un vecteur. Dans une base fixe, on dérive les composantes. Un vecteur de norme constante est orthogonal à sa dérivée : pour u⃗r=cos⁡θ u⃗x+sin⁡θ u⃗y\vec{u}_r=\cos\theta\,\vec{u}_x+\sin\theta\,\vec{u}_y et u⃗θ=−sin⁡θ u⃗x+cos⁡θ u⃗y\vec{u}_\theta=-\sin\theta\,\vec{u}_x+\cos\theta\,\vec{u}_y, du⃗rdt=θ˙ u⃗θ\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_r}{\mathrm{d}t}=\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta et du⃗θdt=−θ˙ u⃗r\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_\theta}{\mathrm{d}t}=-\dot{\theta}\,\vec{u}_r.

  • Champs et dérivées partielles. Un champ scalaire associe un nombre à chaque point, comme une énergie potentielle Ep(x,y,z)E_p(x,y,z) ; un champ vectoriel, un vecteur, comme une force. ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x} se calcule en dérivant par rapport à xx, les autres variables fixées.

  • Gradient et rotationnel. Avec ∇⃗=u⃗x∂∂x+u⃗y∂∂y+u⃗z∂∂z\vec{\nabla}=\vec{u}_x\dfrac{\partial}{\partial x}+\vec{u}_y\dfrac{\partial}{\partial y}+\vec{u}_z\dfrac{\partial}{\partial z} : grad→ f=∇⃗f\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f=\vec{\nabla}f, qui vérifie df=grad→ f⋅dOM→\mathrm{d}f=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM}, et rot→ F⃗=∇⃗∧F⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}=\vec{\nabla}\wedge\vec{F}. Une force de rotationnel nul dans tout l'espace dérive d'une énergie potentielle : F⃗=−grad→ Ep\vec{F}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,E_p.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Calculer un produit scalaire, vectoriel ou mixte en composantes, et en déduire un angle, une aire ou un volume.

  • Projeter une force sur des axes bien choisis, comme le poids sur les axes d'un plan incliné, en contrôlant les cas limites.

  • Dériver un vecteur écrit dans une base mobile, en dérivant aussi les vecteurs de base.

  • Calculer un gradient et un rotationnel en cartésiennes, décider si une force est conservative et trouver son énergie potentielle.

  • Simplifier un double produit vectoriel comme ω⃗∧(ω⃗∧OM→)\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\overrightarrow{OM}), qui apparaît dans les référentiels en rotation.

L'erreur classique

Échanger sinus et cosinus dans une projection

Sur un plan incliné d'un angle α\alpha, on prend u⃗x\vec{u}_x le long de la pente vers le bas et u⃗y\vec{u}_y normal au plan vers le haut, et on lit souvent « Px=mgcos⁡αP_x=mg\cos\alpha ». Le cas limite α=0\alpha=0 montre l'erreur : sur un plan horizontal, le poids n'a pas de composante le long du plan, alors que cos⁡0=1\cos0=1.

On projette par le produit scalaire : l'angle entre P⃗\vec{P} et u⃗x\vec{u}_x vaut π2−α\dfrac{\pi}{2}-\alpha, celui entre P⃗\vec{P} et u⃗y\vec{u}_y vaut π−α\pi-\alpha. D'où

Px=mgsin⁡α,Py=−mgcos⁡α.P_x=mg\sin\alpha,\qquad P_y=-mg\cos\alpha.

Second contrôle, α=π2\alpha=\dfrac{\pi}{2} : le plan est vertical, et l'on trouve bien Px=mgP_x=mg et Py=0P_y=0.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Aire, normale et volume par les produits

Dans un repère orthonormé direct, les longueurs étant en mètres, on donne A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0) et C(0,0,3)C(0,0,3). Calculer l'aire du triangle ABCABC, un vecteur unitaire normal à son plan, puis le volume du tétraèdre OABCOABC.

Corrigé

On a AB→=(−1,2,0)\overrightarrow{AB}=(-1,2,0) et AC→=(−1,0,3)\overrightarrow{AC}=(-1,0,3), d'où

AB→∧AC→=(2⋅3−0⋅0, 0⋅(−1)−(−1)⋅3, (−1)⋅0−2⋅(−1))=(6,3,2),\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\big(2\cdot3-0\cdot0,\ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot3,\ (-1)\cdot0-2\cdot(-1)\big)=(6,3,2),

de norme 36+9+4=7\sqrt{36+9+4}=7. L'aire du triangle est la moitié de celle du parallélogramme : 3,5 m23{,}5\,\mathrm{m^2}, et n⃗=17(6,3,2)\vec{n}=\dfrac17(6,3,2) est unitaire et normal au plan ABCABC. Le volume du tétraèdre est le sixième du produit mixte, en valeur absolue : 16∣(OA→∧OB→)⋅OC→∣=16∣2 u⃗z⋅3 u⃗z∣=1 m3\dfrac16\left|(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right|=\dfrac16\left|2\,\vec{u}_z\cdot3\,\vec{u}_z\right|=1\,\mathrm{m^3}.

Exemple 2 — Reconnaître une force conservative

Dans le plan (O,u⃗x,u⃗y)(O,\vec{u}_x,\vec{u}_y), un point est soumis à la force F⃗=a (y2 u⃗x+2xy u⃗y)\vec{F}=a\,(y^2\,\vec{u}_x+2xy\,\vec{u}_y), avec a=3 N⋅m−2a=3\,\mathrm{N\cdot m^{-2}}. Montrer que F⃗\vec{F} dérive d'une énergie potentielle, la calculer, puis en déduire le travail de F⃗\vec{F} de OO au point B(1 m, 2 m)B(1\,\mathrm{m},\,2\,\mathrm{m}).

Corrigé

F⃗\vec{F} n'a pas de composante selon u⃗z\vec{u}_z et ne dépend pas de zz : seule la composante de son rotationnel selon u⃗z\vec{u}_z peut être non nulle, et

(rot→ F⃗)z=∂Fy∂x−∂Fx∂y=2ay−2ay=0.\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\right)_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=2ay-2ay=0.

F⃗\vec{F} dérive donc d'une énergie potentielle. De −∂Ep∂x=ay2-\dfrac{\partial E_p}{\partial x}=ay^2, on tire Ep=−axy2+g(y)E_p=-axy^2+g(y) ; puis −∂Ep∂y=2axy−g′(y)=2axy-\dfrac{\partial E_p}{\partial y}=2axy-g'(y)=2axy impose gg constante. Ainsi Ep=−axy2+cteE_p=-axy^2+\text{cte}, et le travail ne dépend pas du chemin :

WO→B=Ep(O)−Ep(B)=a xByB2=3×1×22=12 J.W_{O\to B}=E_p(O)-E_p(B)=a\,x_By_B^2=3\times1\times2^2=12\,\mathrm{J}.

Exemple 3 — Un double produit vectoriel en rotation

Soit ω⃗=ω u⃗z\vec{\omega}=\omega\,\vec{u}_z, et HH le projeté orthogonal d'un point MM sur l'axe OzOz. Montrer que ω⃗∧(ω⃗∧OM→)=−ω2 HM→\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\overrightarrow{OM})=-\omega^2\,\overrightarrow{HM}, puis calculer ce vecteur pour ω=2,0 rad⋅s−1\omega=2{,}0\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} et M(3 m, 0, 4 m)M(3\,\mathrm{m},\,0,\,4\,\mathrm{m}).

Corrigé

La formule du double produit donne

ω⃗∧(ω⃗∧OM→)=(ω⃗⋅OM→) ω⃗−ω2 OM→=ω2 OH→−ω2 OM→=−ω2 HM→,\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\overrightarrow{OM})=(\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{OM})\,\vec{\omega}-\omega^2\,\overrightarrow{OM}=\omega^2\,\overrightarrow{OH}-\omega^2\,\overrightarrow{OM}=-\omega^2\,\overrightarrow{HM},

car (ω⃗⋅OM→) ω⃗=ω2(OM→⋅u⃗z) u⃗z(\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{OM})\,\vec{\omega}=\omega^2(\overrightarrow{OM}\cdot\vec{u}_z)\,\vec{u}_z et (OM→⋅u⃗z) u⃗z=OH→(\overrightarrow{OM}\cdot\vec{u}_z)\,\vec{u}_z=\overrightarrow{OH} est la projection de OM→\overrightarrow{OM} sur l'axe. Le résultat est dirigé de MM vers l'axe.

Ici HM→=3 u⃗x\overrightarrow{HM}=3\,\vec{u}_x en mètres, donc le vecteur vaut −12 u⃗x-12\,\vec{u}_x en m⋅s−2\mathrm{m\cdot s^{-2}}. Vérification directe : ω⃗∧OM→=2 u⃗z∧(3 u⃗x+4 u⃗z)=6 u⃗y\vec{\omega}\wedge\overrightarrow{OM}=2\,\vec{u}_z\wedge(3\,\vec{u}_x+4\,\vec{u}_z)=6\,\vec{u}_y, puis 2 u⃗z∧6 u⃗y=−12 u⃗x2\,\vec{u}_z\wedge6\,\vec{u}_y=-12\,\vec{u}_x. C'est l'accélération d'un point qui tourne uniformément autour de OzOz.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment savoir si une force dérive d'une énergie potentielle ?

On calcule son rotationnel. S'il n'est pas nul, la force n'est pas conservative. S'il est nul dans tout l'espace, la force dérive d'une énergie potentielle, que l'on obtient en intégrant ses composantes l'une après l'autre ; son travail entre deux points ne dépend alors pas du chemin suivi.

Pourquoi un vecteur unitaire qui tourne a-t-il une dérivée non nulle ?

Parce que sa direction change, même si sa norme reste égale à 1. Sa dérivée est perpendiculaire au vecteur lui-même, et sa norme est la vitesse angulaire de rotation. C'est pourquoi les vecteurs des bases polaire, cylindrique et sphérique doivent être dérivés, alors que ceux d'une base cartésienne fixe ne le sont pas.

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