Physique · Électrostatique · chapitre 1 sur 4

Analyse vectorielle

Électrostatique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

L'électrostatique décrit des champs définis en chaque point de l'espace : il faut savoir les intégrer le long d'une courbe ou à travers une surface, et les dériver. Ce chapitre rassemble ces outils — éléments de longueur, de surface et de volume, circulation et flux, gradient, divergence et rotationnel — et les deux théorèmes qui relient ces intégrales aux dérivées : Ostrogradski et Stokes.

Sur MC² : 8 vidéos · 2 h · 2 résumés de cours · 2 séries d'exercices corrigés du cours

Ce que couvre le chapitre

  • Éléments de longueur et de volume. Le déplacement élémentaire s'écrit dOM→=dx u⃗x+dy u⃗y+dz u⃗z\mathrm{d}\overrightarrow{OM}=\mathrm{d}x\,\vec{u}_x+\mathrm{d}y\,\vec{u}_y+\mathrm{d}z\,\vec{u}_z en cartésiennes, dr u⃗r+r dθ u⃗θ+dz u⃗z\mathrm{d}r\,\vec{u}_r+r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta+\mathrm{d}z\,\vec{u}_z en cylindriques, dr u⃗r+r dθ u⃗θ+rsin⁡θ dφ u⃗φ\mathrm{d}r\,\vec{u}_r+r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta+r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi en sphériques ; les volumes élémentaires correspondants sont dx dy dz\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, r dr dθ dzr\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z et r2sin⁡θ dr dθ dφr^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.

  • Circulation. Le long d'une courbe orientée Γ\Gamma allant de AA à BB, C=∫ΓA⃗⋅dOM→\mathcal{C}=\displaystyle\int_\Gamma\vec{A}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM} ; elle dépend en général du chemin. Si A⃗=grad→ f\vec{A}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f, elle vaut f(B)−f(A)f(B)-f(A) quel que soit le chemin, et elle est nulle sur toute courbe fermée.

  • Flux. À travers une surface orientée par sa normale unitaire n⃗\vec{n}, Φ=∬SA⃗⋅n⃗ dS\Phi=\displaystyle\iint_S\vec{A}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S ; pour une surface fermée, n⃗\vec{n} pointe vers l'extérieur. Sur une sphère de rayon RR, dS=R2sin⁡θ dθ dφ\mathrm{d}S=R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi ; sur un cylindre de rayon RR, dS=R dθ dz\mathrm{d}S=R\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

  • Gradient. grad→ f\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f est défini par df=grad→ f⋅dOM→\mathrm{d}f=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM} ; ses composantes cartésiennes sont les dérivées partielles de ff. Il est perpendiculaire aux surfaces f=ctef=\text{cte} et dirigé vers les valeurs croissantes de ff ; pour une fonction de la seule distance rr à l'origine, grad→ f=f′(r) u⃗r\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f=f'(r)\,\vec{u}_r.

  • Divergence, rotationnel, laplacien. Avec l'opérateur ∇⃗\vec{\nabla} : div A⃗=∇⃗⋅A⃗=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\mathrm{div}\,\vec{A}=\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}, un scalaire ; rot→ A⃗=∇⃗∧A⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}, un vecteur ; Δf=div(grad→ f)\Delta f=\mathrm{div}\big(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\big). Pour des champs assez réguliers, rot→(grad→ f)=0⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\big(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\big)=\vec{0} et div(rot→ A⃗)=0\mathrm{div}\big(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}\big)=0.

  • Théorème d'Ostrogradski. Pour un volume V\mathcal{V} limité par une surface fermée SS orientée vers l'extérieur, et un champ défini et dérivable dans tout V\mathcal{V} : ∯SA⃗⋅dS⃗=∭Vdiv A⃗ dτ\displaystyle\oiint_S\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\iiint_{\mathcal{V}}\mathrm{div}\,\vec{A}\,\mathrm{d}\tau. La divergence est donc un flux sortant par unité de volume.

  • Théorème de Stokes. Pour une surface SS qui s'appuie sur un contour fermé Γ\Gamma : ∮ΓA⃗⋅dOM→=∬Srot→ A⃗⋅dS⃗\displaystyle\oint_\Gamma\vec{A}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM}=\iint_S\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}, le sens de parcours de Γ\Gamma et la normale à SS étant liés par la règle de la main droite. Un champ de rotationnel nul dans tout l'espace a donc une circulation nulle sur tout contour fermé : il dérive d'un potentiel.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Choisir le système de coordonnées adapté à la symétrie du problème, et écrire les éléments dOM→\mathrm{d}\overrightarrow{OM}, dS\mathrm{d}S et dτ\mathrm{d}\tau correspondants.

  • Calculer la circulation d'un champ le long d'un chemin donné — segment, arc de cercle — en paramétrant ce chemin.

  • Calculer le flux d'un champ à travers une surface simple — disque, face d'un cube, sphère, cylindre fermé — en orientant chaque normale.

  • Calculer un gradient, une divergence et un rotationnel en cartésiennes, et utiliser les expressions en cylindriques ou en sphériques données par l'énoncé.

  • Vérifier le théorème d'Ostrogradski ou de Stokes sur un exemple, et s'en servir pour remplacer un flux par une intégrale de volume, ou une circulation par un flux.

L'erreur classique

Oublier r et r sin θ dans les éléments de surface

Pour calculer le flux de A⃗=u⃗r\vec{A}=\vec{u}_r à travers la sphère de centre OO et de rayon RR, on écrit parfois dS=dθ dφ\mathrm{d}S=\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi, et l'on trouve

Φ=∫0π ⁣ ⁣∫02πdφ dθ=2π2.\Phi=\int_0^\pi\!\!\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta=2\pi^2.

Le résultat n'a pas la dimension d'une aire, et il ne dépend pas de RR : il est faux.

Un angle n'est pas une longueur. Quand θ\theta varie de dθ\mathrm{d}\theta, le point parcourt l'arc R dθR\,\mathrm{d}\theta ; quand φ\varphi varie de dφ\mathrm{d}\varphi, il parcourt un arc du cercle de rayon Rsin⁡θR\sin\theta, de longueur Rsin⁡θ dφR\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi. D'où dS=R2sin⁡θ dθ dφ\mathrm{d}S=R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi, et

Φ=R2∫0πsin⁡θ dθ∫02πdφ=4πR2,\Phi=R^2\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi=4\pi R^2,

l'aire de la sphère. Le contrôle des dimensions suffit à repérer l'oubli.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Le flux d'un champ à travers un cylindre fermé

On considère le champ A⃗=OM→\vec{A}=\overrightarrow{OM} et le cylindre fermé d'axe OzOz, de rayon RR, limité par les plans z=0z=0 et z=hz=h. Calculer le flux sortant de A⃗\vec{A} par un calcul direct, puis vérifier le théorème d'Ostrogradski.

Corrigé

En cylindriques, A⃗=r u⃗r+z u⃗z\vec{A}=r\,\vec{u}_r+z\,\vec{u}_z. On découpe la surface fermée en trois morceaux, chacun avec sa normale sortante :

  • surface latérale (r=Rr=R, n⃗=u⃗r\vec{n}=\vec{u}_r) : A⃗⋅n⃗=R\vec{A}\cdot\vec{n}=R est constant, et le flux vaut R×2πRh=2πR2hR\times2\pi Rh=2\pi R^2h ;
  • base supérieure (z=hz=h, n⃗=u⃗z\vec{n}=\vec{u}_z) : A⃗⋅n⃗=h\vec{A}\cdot\vec{n}=h, et le flux vaut h×πR2h\times\pi R^2 ;
  • base inférieure (z=0z=0, n⃗=−u⃗z\vec{n}=-\vec{u}_z) : A⃗⋅n⃗=−z=0\vec{A}\cdot\vec{n}=-z=0, et le flux est nul.

Au total, Φ=3πR2h\Phi=3\pi R^2h. De l'autre côté, div A⃗=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z=3\mathrm{div}\,\vec{A}=\dfrac{\partial x}{\partial x}+\dfrac{\partial y}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial z}=3, d'où

∭Vdiv A⃗ dτ=3×πR2h=3πR2h,\iiint_{\mathcal{V}}\mathrm{div}\,\vec{A}\,\mathrm{d}\tau=3\times\pi R^2h=3\pi R^2h,

le même résultat, comme l'annonce le théorème d'Ostrogradski.

Exemple 2 — Une circulation sur un cercle et le théorème de Stokes

Dans le plan (O,u⃗x,u⃗y)(O,\vec{u}_x,\vec{u}_y), on donne A⃗=−y u⃗x+x u⃗y\vec{A}=-y\,\vec{u}_x+x\,\vec{u}_y. Calculer sa circulation sur le cercle de centre OO et de rayon RR, parcouru dans le sens trigonométrique, puis le flux de son rotationnel à travers le disque correspondant. Ce champ dérive-t-il d'un potentiel ?

Corrigé

Circulation. En polaires, x=rcos⁡θx=r\cos\theta et y=rsin⁡θy=r\sin\theta donnent A⃗=r u⃗θ\vec{A}=r\,\vec{u}_\theta. Sur le cercle, dOM→=R dθ u⃗θ\mathrm{d}\overrightarrow{OM}=R\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta, donc

∮A⃗⋅dOM→=∫02πR×R dθ=2πR2.\oint\vec{A}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM}=\int_0^{2\pi}R\times R\,\mathrm{d}\theta=2\pi R^2.

Rotationnel. Seule sa composante selon u⃗z\vec{u}_z peut être non nulle : ∂Ay∂x−∂Ax∂y=1−(−1)=2\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}=1-(-1)=2, d'où rot→ A⃗=2 u⃗z\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}=2\,\vec{u}_z. Le sens de parcours oriente le disque par u⃗z\vec{u}_z, d'après la règle de la main droite : le flux vaut 2×πR2=2πR22\times\pi R^2=2\pi R^2, comme l'annonce le théorème de Stokes.

Potentiel. La circulation sur un contour fermé n'est pas nulle : A⃗\vec{A} n'est le gradient d'aucune fonction, ce que confirme son rotationnel non nul.

Exemple 3 — Le champ radial en inverse du carré de la distance

Soit f(M)=1rf(M)=\dfrac{1}{r}, avec r=OM=x2+y2+z2r=OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Calculer A⃗=−grad→ f\vec{A}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f, puis div A⃗\mathrm{div}\,\vec{A} pour r≠0r\neq0, et le flux de A⃗\vec{A} sortant d'une sphère de centre OO. Le théorème d'Ostrogradski est-il en défaut ?

Corrigé

Gradient. ∂f∂x=−xr3\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{x}{r^3}, et de même pour yy et zz : grad→ f=−OM→r3\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f=-\dfrac{\overrightarrow{OM}}{r^3}, donc A⃗=u⃗rr2\vec{A}=\dfrac{\vec{u}_r}{r^2}. La formule f′(r) u⃗rf'(r)\,\vec{u}_r, avec f′(r)=−1r2f'(r)=-\dfrac{1}{r^2}, le donne directement.

Divergence. ∂∂x(xr3)=1r3−3x2r5\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{r^3}\right)=\dfrac{1}{r^3}-\dfrac{3x^2}{r^5} ; en ajoutant les termes en yy et en zz :

div A⃗=3r3−3(x2+y2+z2)r5=0(r≠0).\mathrm{div}\,\vec{A}=\frac{3}{r^3}-\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=0\qquad(r\neq0).

Flux. Sur la sphère de rayon RR, A⃗⋅u⃗r=1R2\vec{A}\cdot\vec{u}_r=\dfrac{1}{R^2} est constant : Φ=1R2×4πR2=4π\Phi=\dfrac{1}{R^2}\times4\pi R^2=4\pi, quel que soit RR.

Le théorème n'est pas en défaut : il demande un champ défini et dérivable dans tout le volume, et A⃗\vec{A} ne l'est pas en OO. Tout le flux vient de ce point. C'est la forme du champ d'une charge ponctuelle, et l'origine du théorème de Gauss.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle différence entre la circulation et le flux d'un champ ?

La circulation additionne la composante du champ le long d'une courbe ; le flux additionne sa composante normale à travers une surface. En électrostatique, la circulation du champ électrique entre deux points donne leur différence de potentiel, et son flux à travers une surface fermée donne la charge intérieure, d'après le théorème de Gauss.

Que mesure la divergence d'un champ ?

La divergence en un point est le flux sortant d'un petit volume entourant ce point, divisé par ce volume. Positive, le champ s'écarte de ce point comme d'une source ; négative, il converge vers lui. En électrostatique, la divergence du champ électrique est égale à la densité volumique de charge divisée par ε0.

Comment orienter une surface pour calculer un flux ?

Une surface fermée s'oriente, par convention, avec la normale vers l'extérieur. Une surface ouverte qui s'appuie sur un contour s'oriente avec le sens de parcours de ce contour, par la règle de la main droite : les doigts suivent le contour, le pouce donne la normale. Changer l'orientation change le signe du flux.

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