Physique · Électrocinétique · chapitre 5 sur 5

Circuits RC, RL et RLC

Électrocinétique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Avec un condensateur ou une bobine, un circuit garde la mémoire de son passé : ses grandeurs évoluent selon des équations différentielles au lieu de sauter d'une valeur à une autre. Ce chapitre étudie la réponse des circuits RC et RL à un échelon de tension, les régimes libres du RLC série, puis le régime sinusoïdal forcé, où les impédances complexes ramènent le calcul aux lois de Kirchhoff.

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Ce que couvre le chapitre

  • Condensateur et bobine. En convention récepteur, i=Cdudti=C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} pour un condensateur et u=Ldidtu=L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} pour une bobine idéale ; ils stockent les énergies 12Cu2\dfrac12Cu^2 et 12Li2\dfrac12Li^2. La tension d'un condensateur et le courant d'une bobine sont des fonctions continues du temps.

  • Circuit RC. Soumis à un échelon de tension EE à t=0t=0, il obéit à RCduCdt+uC=ERC\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}+u_C=E, d'où uC(t)=E+(uC(0)−E) e−t/τu_C(t)=E+\big(u_C(0)-E\big)\,e^{-t/\tau} avec τ=RC\tau=RC ; en décharge, uC(t)=uC(0) e−t/τu_C(t)=u_C(0)\,e^{-t/\tau}.

  • Circuit RL. Soumis au même échelon, un circuit RL série obéit à LRdidt+i=ER\dfrac{L}{R}\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+i=\dfrac{E}{R}, de constante de temps τ=LR\tau=\dfrac{L}{R} ; un courant nul à t=0t=0 s'établit selon i(t)=ER(1−e−t/τ)i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right).

  • Bilan d'énergie. Pendant la charge complète d'un condensateur initialement déchargé, la source fournit CE2CE^2 ; le condensateur en stocke 12CE2\dfrac12CE^2 et la résistance dissipe l'autre moitié par effet Joule, quelle que soit la valeur de RR.

  • RLC série en régime libre. d2uCdt2+ω0QduCdt+ω02uC=0\dfrac{\mathrm{d}^2u_C}{\mathrm{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}+\omega_0^2u_C=0, avec ω0=1LC\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} et Q=1RLCQ=\dfrac1R\sqrt{\dfrac LC}. Le régime est apériodique si Q<12Q<\dfrac12, critique si Q=12Q=\dfrac12, pseudo-périodique si Q>12Q>\dfrac12.

  • Régime sinusoïdal forcé. Les impédances complexes ZR=RZ_R=R, ZL=jLωZ_L=jL\omega et ZC=1jCωZ_C=\dfrac{1}{jC\omega}, avec j2=−1j^2=-1, ramènent le calcul des amplitudes et des déphasages aux lois de Kirchhoff et aux théorèmes généraux, écrits avec des nombres complexes.

  • Résonance. Dans un RLC série alimenté par une tension sinusoïdale d'amplitude fixée et de pulsation ω\omega, l'amplitude du courant est maximale pour ω=ω0\omega=\omega_0, où l'impédance se réduit à RR ; la bande passante à −3 dB-3\,\mathrm{dB} a pour largeur Δω=ω0Q\Delta\omega=\dfrac{\omega_0}{Q}.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Établir l'équation différentielle d'un circuit RC, RL ou RLC par la loi des mailles, avec une convention annoncée pour chaque dipôle.

  • Déterminer les conditions initiales par la continuité de uCu_C et de iLi_L, et l'état final du régime permanent continu, où le condensateur se comporte comme une branche ouverte et la bobine comme un fil.

  • Résoudre une équation du premier ordre, exprimer τ\tau et la lire sur un graphe : tangente à l'origine, ou instant où la grandeur a parcouru 63 % de sa variation totale.

  • Identifier le régime libre d'un RLC série à partir de RR, LL et CC, et calculer la pseudo-période.

  • Faire un bilan d'énergie : énergie fournie par la source, stockée dans le condensateur ou la bobine, dissipée par effet Joule.

  • En régime sinusoïdal, calculer une impédance complexe, l'amplitude et le déphasage d'un courant, et la pulsation de résonance.

L'erreur classique

Croire que le courant est continu dans un condensateur

On ferme l'interrupteur d'un circuit RC série alimenté par EE, le condensateur étant déchargé, et l'on écrit i(0+)=i(0−)=0i(0^+)=i(0^-)=0. C'est faux : ce qui est continu, c'est la tension uCu_C, car l'énergie 12CuC2\dfrac12Cu_C^2 ne peut pas varier instantanément, ce qui demanderait une puissance infinie. Donc uC(0+)=0u_C(0^+)=0, et la loi des mailles E=Ri+uCE=Ri+u_C donne i(0+)=ERi(0^+)=\dfrac{E}{R} : le courant saute de 00 à ER\dfrac{E}{R}.

Pour une bobine, c'est l'inverse : le courant iLi_L est continu, à cause de l'énergie 12LiL2\dfrac12Li_L^2, et c'est la tension à ses bornes qui peut sauter.

La règle à appliquer à chaque commutation : uCu_C et iLi_L sont continus, et seulement eux ; toutes les autres grandeurs à 0+0^+ se déduisent ensuite des lois de Kirchhoff écrites à l'instant 0+0^+.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Charge d'un condensateur : durée et énergie

Un condensateur de capacité C=200 μFC=200\,\mathrm{\mu F}, initialement déchargé, est chargé sous E=10 VE=10\,\mathrm{V} à travers R=2,5 kΩR=2{,}5\,\mathrm{k\Omega}. Calculer la constante de temps, le courant juste après la fermeture, la durée au bout de laquelle uC=9 Vu_C=9\,\mathrm{V}, et les énergies en fin de charge.

Corrigé

La constante de temps vaut τ=RC=2,5×103×200×10−6=0,5 s\tau=RC=2{,}5\times10^{3}\times200\times10^{-6}=0{,}5\,\mathrm{s}. La tension uCu_C est continue, donc nulle à t=0+t=0^+, d'où i(0+)=ER=4 mAi(0^+)=\dfrac{E}{R}=4\,\mathrm{mA}.

Avec uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right), la condition uC=9 Vu_C=9\,\mathrm{V} s'écrit e−t/τ=0,1e^{-t/\tau}=0{,}1 :

t=τln⁡10=0,5×2,303≈1,15 s.t=\tau\ln10=0{,}5\times2{,}303\approx1{,}15\,\mathrm{s}.

Énergies. Le condensateur stocke 12CE2=12×200×10−6×100=10 mJ\dfrac12CE^2=\dfrac12\times200\times10^{-6}\times100=10\,\mathrm{mJ}. La source fournit CE2=20 mJCE^2=20\,\mathrm{mJ} : la résistance en a dissipé 10 mJ10\,\mathrm{mJ}, la moitié.

Exemple 2 — Établissement du courant dans une bobine

Une bobine d'inductance L=0,15 HL=0{,}15\,\mathrm{H} est branchée à t=0t=0 sur une source E=6 VE=6\,\mathrm{V} ; la résistance totale du circuit, bobine comprise, vaut R=30 ΩR=30\,\Omega. Calculer la constante de temps, le courant final, le courant à t=3τt=3\tau et l'énergie stockée en régime permanent.

Corrigé

La loi des mailles, en convention récepteur pour la bobine et la résistance, donne E=Ri+LdidtE=Ri+L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}, avec i(0)=0i(0)=0 par continuité du courant dans la bobine. Donc

i(t)=ER(1−e−t/τ),τ=LR=0,1530=5 ms,ER=0,2 A.i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad\tau=\frac{L}{R}=\frac{0{,}15}{30}=5\,\mathrm{ms},\qquad\frac{E}{R}=0{,}2\,\mathrm{A}.

À t=3τ=15 mst=3\tau=15\,\mathrm{ms}, i=0,2×(1−e−3)≈0,19 Ai=0{,}2\times\left(1-e^{-3}\right)\approx0{,}19\,\mathrm{A}, soit 95 %95\,\% du courant final. En régime permanent, la bobine stocke 12Li2=12×0,15×0,22=3 mJ\dfrac12Li^2=\dfrac12\times0{,}15\times0{,}2^2=3\,\mathrm{mJ}. Juste après la fermeture, au contraire, i=0i=0 et toute la tension EE se retrouve aux bornes de la bobine.

Exemple 3 — Le régime libre d'un RLC série

Un condensateur C=1 μFC=1\,\mathrm{\mu F}, chargé, se décharge à partir de t=0t=0 dans une bobine L=10 mHL=10\,\mathrm{mH}, en série avec une résistance totale R=20 ΩR=20\,\Omega. Quel est le régime ? Calculer la pseudo-période.

Corrigé

La loi des mailles, en convention récepteur pour chaque dipôle, donne Ldidt+Ri+uC=0L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri+u_C=0 avec i=CduCdti=C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}, soit

d2uCdt2+RLduCdt+1LC uC=0.\frac{\mathrm{d}^2u_C}{\mathrm{d}t^2}+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{LC}\,u_C=0.

Ici ω0=1LC=104 rad⋅s−1\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=10^4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} et Q=1RLC=10020=5>12Q=\dfrac1R\sqrt{\dfrac LC}=\dfrac{100}{20}=5>\dfrac12 : le régime est pseudo-périodique, car RR est inférieure à la résistance critique 2L/C=200 Ω2\sqrt{L/C}=200\,\Omega.

Les racines de l'équation caractéristique sont −λ±jω-\lambda\pm j\omega, avec λ=R2L=103 s−1\lambda=\dfrac{R}{2L}=10^3\,\mathrm{s^{-1}} et ω=ω02−λ2≈9,95×103 rad⋅s−1\omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}\approx9{,}95\times10^3\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}, d'où la pseudo-période T=2πω≈0,63 msT=\dfrac{2\pi}{\omega}\approx0{,}63\,\mathrm{ms}.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Que représente la constante de temps d'un circuit RC ou RL ?

C'est l'échelle de durée du régime transitoire : RC pour un circuit RC, L/R pour un circuit RL. Au bout d'une constante de temps, la grandeur a parcouru environ 63 % de sa variation totale ; au bout de cinq, l'écart à la valeur finale est inférieur à 1 %, et l'on considère en pratique le régime permanent atteint.

Pourquoi la tension d'un condensateur ne peut-elle pas varier brusquement ?

Parce que le condensateur stocke l'énergie C u²/2 : un saut de tension demanderait de fournir une énergie finie en un temps nul, donc une puissance infinie. Le même raisonnement, avec l'énergie L i²/2, montre que le courant dans une bobine est continu.

Comment savoir si un circuit RLC série oscille en régime libre ?

On compare la résistance R à la résistance critique, égale à deux fois la racine carrée de L/C, ou le facteur de qualité Q à 1/2. Si R est inférieure à la résistance critique, c'est-à-dire si Q dépasse 1/2, le régime libre est pseudo-périodique : la tension oscille en s'amortissant. Sinon, le régime est critique ou apériodique, sans oscillation.

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