Physique · Électrostatique · chapitre 4 sur 4

Conducteurs et condensateurs

Électrostatique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Dans un conducteur, des charges sont libres de se déplacer : à l'équilibre, elles se placent de façon à annuler le champ dans toute la matière. Ce chapitre en tire les propriétés des conducteurs en équilibre, décrit l'influence entre conducteurs, puis définit le condensateur et sa capacité, calcule celles des condensateurs plan, sphérique et cylindrique, et l'énergie qu'ils stockent.

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Ce que couvre le chapitre

  • Conducteur en équilibre. Ses charges libres sont immobiles, donc le champ est nul en tout point de sa matière : le conducteur est un volume équipotentiel. Le théorème de Gauss, appliqué à une surface fermée tracée dans la matière, donne ρ=0\rho=0 : les charges en excès se trouvent sur la surface.

  • Théorème de Coulomb. Juste à l'extérieur d'un conducteur en équilibre, le champ est normal à la surface et vaut E⃗=σε0 n⃗\vec{E}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec{n}, où σ\sigma est la densité surfacique locale et n⃗\vec{n} la normale sortante. Sur un conducteur isolé, σ\sigma est en général plus grande là où le rayon de courbure de la surface est petit : c'est l'effet de pointe.

  • Capacité d'un conducteur seul. La charge QQ d'un conducteur isolé est proportionnelle à son potentiel, pris nul à l'infini : Q=CVQ=CV, où la capacité CC s'exprime en farads et ne dépend que de la forme et des dimensions du conducteur. Pour une sphère de rayon RR, V=Q4πε0RV=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}, d'où C=4πε0RC=4\pi\varepsilon_0R.

  • Influence. Près de charges, un conducteur voit apparaître sur sa surface des charges induites de signes opposés, sans que sa charge totale change. L'influence est totale quand un conducteur creux en entoure un autre : la face interne du conducteur creux porte alors exactement l'opposé de la charge qu'il entoure. Une cavité vide de charges, creusée dans un conducteur, est une région de champ nul : c'est l'écran électrostatique, ou cage de Faraday.

  • Condensateur. Deux conducteurs en influence totale — ou presque, comme deux plaques proches —, les armatures, portent des charges +Q+Q et −Q-Q sur leurs faces en regard ; Q=CUQ=CU, où U=V1−V2U=V_1-V_2 est la tension entre l'armature chargée positivement et l'autre, et où la capacité C>0C>0 ne dépend que de la géométrie et de l'isolant placé entre les armatures.

  • Capacités classiques. Condensateur plan d'armatures de surface SS écartées de ee, effets de bord négligés : C=ε0SeC=\dfrac{\varepsilon_0S}{e}. Sphérique, de rayons R1<R2R_1<R_2 : C=4πε0R1R2R2−R1C=\dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2-R_1}. Cylindrique, de rayons R1<R2R_1<R_2 et de longueur ℓ\ell : C=2πε0 ℓln⁡(R2/R1)C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0\,\ell}{\ln(R_2/R_1)}.

  • Associations et énergie. En parallèle, les capacités s'ajoutent ; en série, ce sont leurs inverses. Un condensateur chargé stocke W=12CU2=Q22C=12QUW=\dfrac12CU^2=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac12QU ; cette énergie est répartie dans le champ, avec la densité volumique 12ε0E2\dfrac12\varepsilon_0E^2, en J⋅m−3\mathrm{J\cdot m^{-3}}.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Utiliser les propriétés d'un conducteur en équilibre : champ nul et potentiel uniforme dans la matière, charges en surface, champ σε0\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} normal juste à l'extérieur.

  • Trouver la répartition des charges sur des conducteurs en influence, comme des sphères concentriques, par le théorème de Gauss, la conservation de la charge et l'égalité des potentiels de conducteurs reliés.

  • Calculer la capacité d'un condensateur : charges ±Q\pm Q sur les armatures, champ entre elles par le théorème de Gauss, tension par la circulation du champ, puis C=QUC=\dfrac{Q}{U}.

  • Calculer la capacité équivalente d'une association en série ou en parallèle, puis la charge et la tension de chaque condensateur.

  • Calculer l'énergie d'un condensateur de deux façons, par 12CU2\dfrac12CU^2 et par l'intégrale de 12ε0E2\dfrac12\varepsilon_0E^2, et faire un bilan d'énergie quand on relie deux condensateurs ou qu'on écarte des armatures.

L'erreur classique

Prendre σ/(2ε0) pour le champ au voisinage d'un conducteur

Juste à l'extérieur d'un conducteur dont la surface porte la densité σ\sigma, on écrit souvent E=σ2ε0E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}, par analogie avec le plan chargé. C'est deux fois trop peu.

Le théorème de Gauss s'applique à un petit cylindre de base SS qui traverse la surface, mais le décompte du flux diffère :

  • pour un plan chargé seul, le champ existe des deux côtés et sort par les deux bases : 2ES=σSε02ES=\dfrac{\sigma S}{\varepsilon_0}, d'où E=σ2ε0E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} ;
  • pour un conducteur en équilibre, le champ est nul dans la matière : seule la base extérieure compte, ES=σSε0ES=\dfrac{\sigma S}{\varepsilon_0}, d'où E=σε0E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.

Les deux résultats sont compatibles : la portion de surface voisine crée σ2ε0\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} de chaque côté, et les autres charges du conducteur ajoutent σ2ε0\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} selon la normale sortante, ce qui annule le champ dans la matière et le double dehors. Contrôle sur une sphère de rayon RR portant QQ : σε0=Q4πε0R2\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}, le champ d'une charge ponctuelle QQ à la distance RR du centre.

Exemples corrigés

Exemple 1 — La capacité d'un condensateur sphérique

Un condensateur est formé d'une sphère conductrice de rayon R1=5,0 cmR_1=5{,}0\,\mathrm{cm} et d'une coquille conductrice concentrique de rayon intérieur R2=6,0 cmR_2=6{,}0\,\mathrm{cm}, séparées par du vide. Calculer sa capacité, puis la charge des armatures sous une tension U=100 VU=100\,\mathrm{V}. Retrouver la capacité du condensateur plan et celle de la sphère seule comme cas limites. On prend 14πε0=9,0×109 SI\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9{,}0\times10^9\,\mathrm{SI}.

Corrigé

Charges. On place +Q+Q sur la sphère intérieure. Une surface de Gauss tracée dans le métal de la coquille, où le champ est nul, a un flux nul : sa charge intérieure est nulle, et la face interne de la coquille porte −Q-Q. C'est l'influence totale.

Champ et tension. Pour R1<r<R2R_1<r<R_2, la symétrie sphérique et le théorème de Gauss donnent E=Q4πε0 r2E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}, d'où

U=V1−V2=∫R1R2Q dr4πε0 r2=Q4πε0(1R1−1R2),C=QU=4πε0R1R2R2−R1.U=V_1-V_2=\int_{R_1}^{R_2}\frac{Q\,\mathrm{d}r}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),\qquad C=\frac{Q}{U}=\frac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2-R_1}.

Application. C=0,05×0,069,0×109×0,01≈3,3×10−11 FC=\dfrac{0{,}05\times0{,}06}{9{,}0\times10^9\times0{,}01}\approx3{,}3\times10^{-11}\,\mathrm{F}, soit 33 pF33\,\mathrm{pF}, et Q=CU≈3,3 nCQ=CU\approx3{,}3\,\mathrm{nC}.

Cas limites. Si l'écart e=R2−R1e=R_2-R_1 est petit devant R1R_1, C≈4πε0R12e=ε0SeC\approx\dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1^2}{e}=\dfrac{\varepsilon_0S}{e}, avec S=4πR12S=4\pi R_1^2 : la formule du condensateur plan. Si R2→∞R_2\to\infty, C→4πε0R1C\to4\pi\varepsilon_0R_1 : la sphère seule.

Exemple 2 — L'énergie d'un condensateur plan dont on écarte les armatures

Un condensateur plan a des armatures de surface S=200 cm2S=200\,\mathrm{cm^2}, écartées de e=1,0 mme=1{,}0\,\mathrm{mm} dans l'air, assimilé au vide ; il est chargé sous U=50 VU=50\,\mathrm{V}. Calculer sa capacité et son énergie, de deux façons. On l'isole, puis on écarte les armatures jusqu'à 2,0 mm2{,}0\,\mathrm{mm} : que devient l'énergie ? On prend ε0=8,85×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F\cdot m^{-1}}.

Corrigé

Capacité. C=ε0Se=8,85×10−12×2,0×10−21,0×10−3≈1,77×10−10 FC=\dfrac{\varepsilon_0S}{e}=\dfrac{8{,}85\times10^{-12}\times2{,}0\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{-3}}\approx1{,}77\times10^{-10}\,\mathrm{F}, soit 177 pF177\,\mathrm{pF}.

Énergie, deux calculs. D'une part, W=12CU2≈12×1,77×10−10×2500≈2,2×10−7 JW=\dfrac12CU^2\approx\dfrac12\times1{,}77\times10^{-10}\times2500\approx2{,}2\times10^{-7}\,\mathrm{J}. D'autre part, le champ est uniforme entre les armatures, E=Ue=5,0×104 V⋅m−1E=\dfrac{U}{e}=5{,}0\times10^4\,\mathrm{V\cdot m^{-1}}, et nul ailleurs :

W=12ε0E2×Se=12×8,85×10−12×2,5×109×2,0×10−5≈2,2×10−7 J.W=\frac12\varepsilon_0E^2\times Se=\frac12\times8{,}85\times10^{-12}\times2{,}5\times10^9\times2{,}0\times10^{-5}\approx2{,}2\times10^{-7}\,\mathrm{J}.

Écartement. Isolé, le condensateur garde sa charge Q=CU≈8,9 nCQ=CU\approx8{,}9\,\mathrm{nC}. Sa capacité est divisée par deux, donc W=Q22CW=\dfrac{Q^2}{2C} double, et UU passe à 100 V100\,\mathrm{V} : le champ σε0\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} n'a pas changé, mais il occupe un volume deux fois plus grand. L'opérateur qui écarte les armatures, qui s'attirent, a fourni la différence, environ 2,2×10−7 J2{,}2\times10^{-7}\,\mathrm{J}.

Exemple 3 — Relier deux condensateurs et perdre de l'énergie

Un condensateur C1=2,0 μFC_1=2{,}0\,\mathrm{\mu F}, chargé sous U0=12 VU_0=12\,\mathrm{V}, est relié par des fils à un condensateur C2=4,0 μFC_2=4{,}0\,\mathrm{\mu F} initialement déchargé, armature à armature. Calculer la tension finale commune et l'énergie perdue.

Corrigé

Conservation de la charge. Les armatures reliées entre elles forment des conducteurs isolés : la charge Q0=C1U0=24 μCQ_0=C_1U_0=24\,\mathrm{\mu C} se répartit entre les deux condensateurs, désormais en parallèle et sous la même tension UU :

(C1+C2) U=C1U0⟹U=24 μC6,0 μF=4,0 V.(C_1+C_2)\,U=C_1U_0\quad\Longrightarrow\quad U=\frac{24\,\mathrm{\mu C}}{6{,}0\,\mathrm{\mu F}}=4{,}0\,\mathrm{V}.

Énergies. Avant : 12C1U02=12×2,0×10−6×144=144 μJ\dfrac12C_1U_0^2=\dfrac12\times2{,}0\times10^{-6}\times144=144\,\mathrm{\mu J}. Après : 12(C1+C2)U2=12×6,0×10−6×16=48 μJ\dfrac12(C_1+C_2)U^2=\dfrac12\times6{,}0\times10^{-6}\times16=48\,\mathrm{\mu J}.

Les deux tiers de l'énergie initiale, 96 μJ96\,\mathrm{\mu J}, ont été dissipés par effet Joule dans les fils, et rayonnés, pendant le transfert des charges. Cette perte, égale à la fraction C2C1+C2\dfrac{C_2}{C_1+C_2} de l'énergie initiale, ne dépend pas de la résistance des fils : la charge se conserve, l'énergie électrostatique non.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi le champ est-il nul à l'intérieur d'un conducteur en équilibre ?

Un conducteur contient des charges libres de se déplacer. Si un champ subsistait dans sa matière, il les mettrait en mouvement, et le conducteur ne serait pas en équilibre. À l'équilibre, les charges se sont donc réparties en surface de façon à annuler le champ dans tout le volume, qui est alors au même potentiel en chacun de ses points.

De quoi dépend la capacité d'un condensateur ?

Seulement de sa géométrie, c'est-à-dire de la forme, des dimensions et de l'écartement des armatures, et de l'isolant placé entre elles. Elle ne dépend ni de la charge ni de la tension : doubler la tension double la charge. Pour un condensateur plan, elle est proportionnelle à la surface des armatures et inversement proportionnelle à leur écartement.

Où est stockée l'énergie d'un condensateur ?

On peut la calculer à partir des charges et des potentiels des armatures, ou la répartir dans l'espace où règne le champ, avec une densité volumique égale à ε0 E²/2. Pour un condensateur plan, le champ est uniforme entre les armatures et pratiquement nul ailleurs : l'intégrale de cette densité sur le volume compris entre les armatures redonne C U²/2.

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