Physique · Électrocinétique · chapitre 3 sur 5

Théorèmes généraux

Électrocinétique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Vu de deux de ses bornes, un réseau linéaire se comporte comme une source de tension en série avec une résistance : c'est le théorème de Thévenin, dont le théorème de Norton donne la version en courant. Ce chapitre apprend à calculer ces générateurs équivalents, à passer de l'un à l'autre, et à trouver le potentiel d'un nœud en une ligne avec le théorème de Millman.

Sur MC² : 1 résumé de cours · 1 TD corrigé · 1 devoir maison (DM) corrigé · 1 devoir libre (DL) corrigé

Ce que couvre le chapitre

  • Théorème de Thévenin. Entre deux bornes AA et BB, un réseau linéaire est équivalent à une source idéale de tension EthE_\mathrm{th} en série avec une résistance RthR_\mathrm{th} : EthE_\mathrm{th} est la tension à vide uABu_{AB}, et RthR_\mathrm{th} la résistance vue entre AA et BB quand toutes les sources indépendantes sont éteintes.

  • Théorème de Norton. Le même réseau est équivalent à une source idéale de courant INI_\mathrm{N} en parallèle avec la même résistance RthR_\mathrm{th} : INI_\mathrm{N} est le courant de court-circuit, qui circule de AA vers BB dans un fil reliant les deux bornes.

  • Équivalence. Eth=RthINE_\mathrm{th}=R_\mathrm{th}I_\mathrm{N} : on passe d'un modèle à l'autre sans refaire le calcul du réseau, et l'on obtient Rth=EthINR_\mathrm{th}=\dfrac{E_\mathrm{th}}{I_\mathrm{N}} quand l'extinction des sources est malcommode. Des transformations Thévenin-Norton successives simplifient un réseau en échelle.

  • Théorème de Millman. Le potentiel d'un nœud NN relié par des résistances RkR_k à des points de potentiels VkV_k vaut VN=∑kVk/Rk∑k1/RkV_N=\dfrac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} ; une source de courant II qui arrive au nœud ajoute II au numérateur. C'est la loi des nœuds écrite avec les potentiels.

  • Transfert de puissance. Une résistance de charge RR branchée sur le générateur (Eth,Rth)(E_\mathrm{th},R_\mathrm{th}) reçoit P=R Eth2(R+Rth)2P=\dfrac{R\,E_\mathrm{th}^2}{(R+R_\mathrm{th})^2}, maximale pour R=RthR=R_\mathrm{th}, où Pmax=Eth24RthP_\mathrm{max}=\dfrac{E_\mathrm{th}^2}{4R_\mathrm{th}} : c'est l'adaptation en puissance.

  • Transformation étoile-triangle (Kennelly). Un triangle de résistances RABR_{AB}, RBCR_{BC}, RCAR_{CA} équivaut à une étoile de branches RA=RABRCARAB+RBC+RCAR_A=\dfrac{R_{AB}R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}, et ainsi de suite par permutation. Elle débloque les réseaux qui ne se réduisent ni en série ni en parallèle, comme un pont.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Déterminer le générateur de Thévenin d'un réseau entre deux bornes : la tension à vide d'une part, la résistance vue des bornes, sources éteintes, d'autre part.

  • Calculer un courant de court-circuit et en déduire le modèle de Norton, ou Rth=EthINR_\mathrm{th}=\dfrac{E_\mathrm{th}}{I_\mathrm{N}} pour contrôler le calcul.

  • Écrire le théorème de Millman en un nœud, y compris quand une branche contient une source de tension en série avec une résistance, ou une source de courant.

  • Trouver la charge qui reçoit une puissance maximale, et calculer cette puissance.

  • Utiliser la transformation étoile-triangle pour calculer la résistance équivalente d'un réseau en pont.

L'erreur classique

Calculer la tension de Thévenin avec la charge en place

On cherche le courant dans une charge RR branchée entre AA et BB, et l'on prend pour tension de Thévenin la tension uABu_{AB} calculée charge en place. Ce n'est pas EthE_\mathrm{th} : c'est la tension aux bornes de la charge, qui dépend de RR.

Exemple : E=12 VE=12\,\mathrm{V} alimente un diviseur R1=R2=6 ΩR_1=R_2=6\,\Omega, et la charge R=3 ΩR=3\,\Omega est en parallèle sur R2R_2. Charge en place, uAB=3 Vu_{AB}=3\,\mathrm{V} ; avec cette valeur pour EthE_\mathrm{th} et Rth=3 ΩR_\mathrm{th}=3\,\Omega, on trouverait 0,5 A0{,}5\,\mathrm{A} dans la charge, deux fois trop peu.

La bonne méthode retire d'abord la charge : à vide, Eth=E R2R1+R2=6 VE_\mathrm{th}=E\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=6\,\mathrm{V}, et sources éteintes, Rth=R1∥R2=3 ΩR_\mathrm{th}=R_1\parallel R_2=3\,\Omega. On rebranche ensuite la charge : i=63+3=1 Ai=\dfrac{6}{3+3}=1\,\mathrm{A}, et uAB=Ri=3 Vu_{AB}=Ri=3\,\mathrm{V}, cohérent avec le calcul direct.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Le générateur de Thévenin d'un réseau à deux sources

Une source E=12 VE=12\,\mathrm{V}, borne −- à la masse BB, alimente un nœud AA à travers R1=4 ΩR_1=4\,\Omega. Entre AA et BB se trouvent une résistance R2=12 ΩR_2=12\,\Omega et une source de courant I0=2 AI_0=2\,\mathrm{A} qui injecte son courant dans AA. Déterminer le générateur de Thévenin vu entre AA et BB, puis le courant dans une charge R=7 ΩR=7\,\Omega branchée entre AA et BB.

Corrigé

Tension à vide, par le théorème de Millman en AA, où la branche de R1R_1 aboutit au potentiel EE et celle de R2R_2 à la masse :

Eth=VA=ER1+I01R1+1R2=3+214+112=51/3=15 V.E_\mathrm{th}=V_A=\frac{\dfrac{E}{R_1}+I_0}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}}=\frac{3+2}{\dfrac14+\dfrac1{12}}=\frac{5}{1/3}=15\,\mathrm{V}.

Résistance de Thévenin. Source de tension éteinte (fil), source de courant éteinte (branche ouverte) : Rth=R1∥R2=4×1216=3 ΩR_\mathrm{th}=R_1\parallel R_2=\dfrac{4\times12}{16}=3\,\Omega.

Contrôle par Norton. AA et BB reliés par un fil, R2R_2 n'est plus parcourue ; le fil reçoit ER1=3 A\dfrac{E}{R_1}=3\,\mathrm{A} et I0=2 AI_0=2\,\mathrm{A}, soit IN=5 A=EthRthI_\mathrm{N}=5\,\mathrm{A}=\dfrac{E_\mathrm{th}}{R_\mathrm{th}}.

Charge. i=EthRth+R=1510=1,5 Ai=\dfrac{E_\mathrm{th}}{R_\mathrm{th}+R}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\,\mathrm{A}.

Exemple 2 — Le théorème de Millman en une ligne

Entre un nœud AA et la masse, trois branches sont en parallèle : une source E1=12 VE_1=12\,\mathrm{V} suivie de R1=2 ΩR_1=2\,\Omega, une source E2=6 VE_2=6\,\mathrm{V} suivie de R2=2 ΩR_2=2\,\Omega, et une résistance R3=4 ΩR_3=4\,\Omega. Dans chaque branche de source, la borne −- est à la masse et la résistance relie la borne ++ au nœud AA. Calculer VAV_A, puis les courants.

Corrigé

Chaque branche relie AA, à travers une résistance, à un point de potentiel connu : 12 V12\,\mathrm{V}, 6 V6\,\mathrm{V} et 00. Le théorème de Millman donne directement

VA=122+62+0412+12+14=91,25=7,2 V.V_A=\frac{\dfrac{12}{2}+\dfrac{6}{2}+\dfrac{0}{4}}{\dfrac12+\dfrac12+\dfrac14}=\frac{9}{1{,}25}=7{,}2\,\mathrm{V}.

La loi d'Ohm donne ensuite chaque courant : VAR3=1,8 A\dfrac{V_A}{R_3}=1{,}8\,\mathrm{A} de AA vers la masse dans R3R_3, E1−VAR1=2,4 A\dfrac{E_1-V_A}{R_1}=2{,}4\,\mathrm{A} fournis par la branche 1, et E2−VAR2=−0,6 A\dfrac{E_2-V_A}{R_2}=-0{,}6\,\mathrm{A} pour la branche 2, dont la source reçoit donc de la puissance. Une seule équation remplace le système des lois de Kirchhoff.

Exemple 3 — Une adaptation en puissance

Un générateur de Thévenin a pour caractéristiques Eth=10 VE_\mathrm{th}=10\,\mathrm{V} et Rth=50 ΩR_\mathrm{th}=50\,\Omega. Pour quelle résistance de charge RR la puissance reçue par la charge est-elle maximale ? Calculer cette puissance et le rendement du transfert.

Corrigé

La charge est parcourue par i=EthR+Rthi=\dfrac{E_\mathrm{th}}{R+R_\mathrm{th}} et reçoit P(R)=R Eth2(R+Rth)2P(R)=\dfrac{R\,E_\mathrm{th}^2}{(R+R_\mathrm{th})^2}. En dérivant par rapport à RR :

dPdR=Eth2 Rth−R(R+Rth)3,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}R}=E_\mathrm{th}^2\,\frac{R_\mathrm{th}-R}{(R+R_\mathrm{th})^3},

positive pour R<RthR<R_\mathrm{th} et négative au-delà : le maximum est atteint pour R=Rth=50 ΩR=R_\mathrm{th}=50\,\Omega et vaut Pmax=Eth24Rth=100200=0,5 WP_\mathrm{max}=\dfrac{E_\mathrm{th}^2}{4R_\mathrm{th}}=\dfrac{100}{200}=0{,}5\,\mathrm{W}.

Le courant vaut alors 0,1 A0{,}1\,\mathrm{A}, et la source idéale fournit Eth i=1 WE_\mathrm{th}\,i=1\,\mathrm{W} : le rendement du transfert n'est que de 50 %50\,\%, l'autre moitié étant dissipée dans RthR_\mathrm{th}.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment trouver la résistance de Thévenin d'un réseau ?

On éteint toutes les sources indépendantes : les sources de tension deviennent des fils, les sources de courant des branches ouvertes. La résistance de Thévenin est alors la résistance vue entre les deux bornes. On peut aussi la calculer comme le quotient de la tension à vide par le courant de court-circuit, ce qui sert de contrôle.

Quelle différence entre les théorèmes de Thévenin et de Norton ?

Ils décrivent le même réseau vu de deux bornes : Thévenin par une source de tension en série avec une résistance, Norton par une source de courant en parallèle avec la même résistance. On passe de l'un à l'autre par la relation E = R I ; le choix dépend seulement du calcul qui suit, en série ou en parallèle.

À quoi sert le théorème de Millman ?

Il donne en une ligne le potentiel d'un nœud relié à plusieurs branches : c'est la moyenne des potentiels voisins, pondérée par les conductances des branches. Il remplace l'écriture de la loi des nœuds suivie de la résolution d'un système, et il est commode dès que plusieurs branches aboutissent aux deux mêmes nœuds.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Théorèmes généraux » (Électrocinétique) ?

Oui. Sur MC² Academy, le chapitre « Théorèmes généraux » du module Électrocinétique compte 1 résumé et 3 séries d'exercices corrigés. L'inscription est gratuite.

À revoir, pour aller plus loin

ÉlectrocinétiqueLois de Kirchhoff et principe de superpositionLois de Kirchhoff en électrocinétique : loi des nœuds, loi des mailles, ponts diviseurs, principe de superposition et extinction des sources, exemples corrigés.ÉlectrocinétiqueMatrices des impédances aux accèsMatrices des impédances aux accès : quadripôles, matrice impédance, réciprocité, schéma équivalent en T, matrices admittance et hybride, quadripôle chargé.

Travaille « Théorèmes généraux » avec MC²

Ton compte est gratuit, sans carte bancaire : tu retrouves le module Électrocinétique et tout ton programme.

Yallah, bda dabaEssayer sans compte