Physique · Électrocinétique · chapitre 2 sur 5

Lois de Kirchhoff et principe de superposition

Électrocinétique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Deux lois suffisent à mettre en équations un réseau électrique : la conservation de la charge aux nœuds et l'additivité des tensions le long d'une maille. Ce chapitre apprend à les écrire sans erreur de signe, à gagner du temps avec les ponts diviseurs, puis à découper un circuit à plusieurs sources grâce au principe de superposition.

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Ce que couvre le chapitre

  • Vocabulaire. Un nœud est un point où se rejoignent au moins trois conducteurs ; une branche relie deux nœuds et est parcourue par un même courant ; une maille est un chemin fermé formé de branches, qui ne passe qu'une fois par chaque nœud.

  • Loi des nœuds. En régime quasi stationnaire, la somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent. C'est la conservation de la charge : aucune charge ne s'accumule au nœud.

  • Loi des mailles. Le long d'une maille parcourue dans un sens choisi, ∑kεkuk=0\displaystyle\sum_k\varepsilon_ku_k=0, avec εk=+1\varepsilon_k=+1 si la flèche de uku_k est dans le sens de parcours et εk=−1\varepsilon_k=-1 sinon. Elle traduit l'additivité des tensions, uAC=uAB+uBCu_{AC}=u_{AB}+u_{BC}.

  • Ponts diviseurs. Deux résistances en série, soumises à la tension uu et parcourues par le même courant : u1=R1R1+R2 uu_1=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,u. Deux résistances en parallèle, traversées au total par le courant ii : i1=R2R1+R2 i=G1G1+G2 ii_1=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\,i=\dfrac{G_1}{G_1+G_2}\,i.

  • Mise en équations. Un réseau de nn nœuds et bb branches fournit n−1n-1 lois des nœuds indépendantes et b−n+1b-n+1 lois des mailles indépendantes, de quoi trouver les bb courants. Écrire la loi des nœuds directement sur le schéma réduit le nombre d'inconnues ; on peut aussi prendre les potentiels des nœuds comme inconnues.

  • Principe de superposition. Dans un réseau linéaire à plusieurs sources indépendantes, chaque courant et chaque tension est la somme des contributions de chaque source agissant seule, les autres étant éteintes : une source de tension éteinte devient un fil, une source de courant éteinte devient une branche ouverte.

  • Limites. La superposition s'applique aux courants et aux tensions, pas aux puissances, qui sont quadratiques : R(i1+i2)2≠Ri12+Ri22R(i_1+i_2)^2\neq Ri_1^2+Ri_2^2. Elle demande un réseau linéaire, et les sources commandées ne s'éteignent pas.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Orienter toutes les branches, écrire autant de lois des nœuds et des mailles indépendantes que d'inconnues, et résoudre le système.

  • Reconnaître un pont diviseur de tension ou de courant et vérifier qu'il s'applique : même courant dans les deux résistances, ou même tension à leurs bornes.

  • Appliquer la superposition : un schéma par source, les autres sources correctement éteintes, puis la somme algébrique des contributions en respectant les sens choisis.

  • Calculer la tension entre deux points quelconques en additionnant les tensions le long d'un chemin qui les relie.

  • Contrôler un résultat par un bilan de puissance ou par un cas limite, une résistance nulle ou infinie.

L'erreur classique

Éteindre une source de courant en la remplaçant par un fil

Pour appliquer la superposition, on éteint les sources une à une, et l'erreur consiste à remplacer toute source éteinte par un fil. Éteindre une source, c'est annuler la grandeur qu'elle impose : une source de tension éteinte impose u=0u=0, c'est un fil ; une source de courant éteinte impose i=0i=0, c'est une branche ouverte.

Prenons E=10 VE=10\,\mathrm{V} en série avec R1=5 ΩR_1=5\,\Omega, qui alimente un nœud AA relié à la masse par R2=20 ΩR_2=20\,\Omega et par une source de courant I0=1 AI_0=1\,\mathrm{A}. Remplacer I0I_0 par un fil pour calculer l'effet de EE seule relie AA à la masse : cette contribution devient nulle, et l'on trouve VA=4 VV_A=4\,\mathrm{V} au lieu de 12 V12\,\mathrm{V}.

La bonne rédaction annonce l'extinction sur chaque schéma, puis contrôle le total par la loi des nœuds en AA.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Un réseau à deux sources par les lois de Kirchhoff

Entre un nœud AA et la masse BB, trois branches sont en parallèle : la branche 1 contient une source E1=12 VE_1=12\,\mathrm{V} et une résistance R1=2 ΩR_1=2\,\Omega, la branche 2 une source E2=6 VE_2=6\,\mathrm{V} et R2=2 ΩR_2=2\,\Omega, la branche 3 une résistance R3=4 ΩR_3=4\,\Omega. Les bornes ++ des deux sources sont du côté de AA. Calculer les trois courants.

Corrigé

On oriente I1I_1 et I2I_2 de BB vers AA dans les branches des sources, I3I_3 de AA vers BB dans R3R_3. Loi des nœuds en AA : I3=I1+I2I_3=I_1+I_2. Lois des mailles, avec les résistances en convention récepteur :

E1=R1I1+R3I3,E2=R2I2+R3I3.E_1=R_1I_1+R_3I_3,\qquad E_2=R_2I_2+R_3I_3.

En remplaçant I3I_3 : 6I1+4I2=126I_1+4I_2=12 et 4I1+6I2=64I_1+6I_2=6. En multipliant la première équation par 33, la seconde par 22, et en soustrayant, on obtient 10I1=2410I_1=24 : I1=2,4 AI_1=2{,}4\,\mathrm{A}, puis I2=−0,6 AI_2=-0{,}6\,\mathrm{A} et I3=1,8 AI_3=1{,}8\,\mathrm{A}.

Le signe de I2I_2 indique que le courant traverse en réalité la source 2 de sa borne ++ vers sa borne −- : elle reçoit de la puissance. Contrôle : VA=R3I3=7,2 VV_A=R_3I_3=7{,}2\,\mathrm{V}, et aussi VA=E1−R1I1=12−4,8=7,2 VV_A=E_1-R_1I_1=12-4{,}8=7{,}2\,\mathrm{V}.

Exemple 2 — Une superposition avec une source de courant

Une source de tension E=10 VE=10\,\mathrm{V}, borne −- à la masse, alimente un nœud AA à travers R1=5 ΩR_1=5\,\Omega ; entre AA et la masse se trouvent une résistance R2=20 ΩR_2=20\,\Omega et une source de courant I0=1 AI_0=1\,\mathrm{A} qui injecte son courant dans AA. Calculer VAV_A par superposition.

Corrigé

Contribution de la source de tension. La source de courant éteinte devient une branche ouverte : R1R_1 et R2R_2 forment un diviseur de tension,

VA′=E R2R1+R2=10×2025=8 V.V_A'=E\,\frac{R_2}{R_1+R_2}=10\times\frac{20}{25}=8\,\mathrm{V}.

Contribution de la source de courant. La source de tension éteinte devient un fil : R1R_1 et R2R_2 sont en parallèle entre AA et la masse, R1∥R2=5×2025=4 ΩR_1\parallel R_2=\dfrac{5\times20}{25}=4\,\Omega, d'où VA′′=4×1=4 VV_A''=4\times1=4\,\mathrm{V}.

Somme. VA=VA′+VA′′=12 VV_A=V_A'+V_A''=12\,\mathrm{V}. Contrôle par la loi des nœuds en AA : il arrive E−VAR1+I0=−0,4+1=0,6 A\dfrac{E-V_A}{R_1}+I_0=-0{,}4+1=0{,}6\,\mathrm{A}, et il part VAR2=1220=0,6 A\dfrac{V_A}{R_2}=\dfrac{12}{20}=0{,}6\,\mathrm{A}.

Exemple 3 — Un pont diviseur chargé

Un pont diviseur formé de R1=R2=10 kΩR_1=R_2=10\,\mathrm{k\Omega} est alimenté sous E=12 VE=12\,\mathrm{V}. Calculer la tension de sortie usu_s aux bornes de R2R_2, à vide puis quand on branche une charge Rc=10 kΩR_c=10\,\mathrm{k\Omega} en parallèle sur R2R_2.

Corrigé

À vide, aucun courant n'est prélevé au point milieu : R1R_1 et R2R_2 sont parcourues par le même courant, et us=E R2R1+R2=6 Vu_s=E\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=6\,\mathrm{V}.

En charge, R2R_2 et RcR_c sont en parallèle, R2∥Rc=5 kΩR_2\parallel R_c=5\,\mathrm{k\Omega}, et c'est cette association qui forme le diviseur avec R1R_1 :

us=E R2∥RcR1+(R2∥Rc)=12×515=4 V.u_s=E\,\frac{R_2\parallel R_c}{R_1+(R_2\parallel R_c)}=12\times\frac{5}{15}=4\,\mathrm{V}.

Garder la formule à vide en présence de la charge donnerait encore 6 V6\,\mathrm{V} : c'est faux, car R1R_1 et R2R_2 ne sont plus parcourues par le même courant.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Peut-on appliquer le principe de superposition aux puissances ?

Non. La superposition vaut pour les courants et les tensions d'un réseau linéaire, parce qu'ils dépendent linéairement des sources. La puissance dissipée dans une résistance est proportionnelle au carré du courant : on additionne d'abord les contributions au courant, puis on calcule la puissance avec le courant total.

Combien d'équations faut-il écrire avec les lois de Kirchhoff ?

Autant que d'inconnues indépendantes. Pour un réseau de n nœuds et b branches, on dispose de n - 1 lois des nœuds indépendantes et de b - n + 1 lois des mailles indépendantes, soit b équations pour les b courants de branche. Une loi des nœuds de plus ne serait qu'une combinaison des autres.

Quand le pont diviseur de tension s'applique-t-il ?

Quand les deux résistances sont parcourues par le même courant, c'est-à-dire quand aucun courant n'est prélevé au point qui les sépare. Si une charge est branchée sur l'une d'elles, on l'associe d'abord en parallèle avec cette résistance, puis on applique le diviseur à l'association.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Lois de Kirchhoff et principe de superposition » (Électrocinétique) ?

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À revoir, pour aller plus loin

ÉlectrocinétiqueDipôles actifs et passifsDipôles actifs et passifs en électrocinétique : courant, tension, conventions récepteur et générateur, puissance, résistances, sources idéales et réelles.ÉlectrocinétiqueThéorèmes générauxThéorèmes généraux en électrocinétique : Thévenin, Norton, équivalence des deux modèles, théorème de Millman, transfert de puissance, étoile-triangle.

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