Physique · Électrocinétique · chapitre 4 sur 5

Matrices des impédances aux accès

Électrocinétique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Un quadripôle est un circuit vu par deux paires de bornes, une entrée et une sortie, comme un filtre ou un atténuateur. Plutôt que de détailler ses composants, on le décrit par quatre coefficients qui relient les tensions et les courants de ses deux accès. Ce chapitre construit la matrice impédance, l'interprète par des essais à vide et en tire un schéma équivalent en T.

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Ce que couvre le chapitre

  • Quadripôle et conventions. Deux accès : (u1,i1)(u_1,i_1) à l'entrée, (u2,i2)(u_2,i_2) à la sortie. Chaque courant est compté positivement quand il entre dans le quadripôle par la borne supérieure, et chaque tension est celle de cette borne par rapport à l'autre : les deux accès sont en convention récepteur.

  • Matrice impédance. Pour un quadripôle linéaire sans source indépendante, u1=Z11i1+Z12i2u_1=Z_{11}i_1+Z_{12}i_2 et u2=Z21i1+Z22i2u_2=Z_{21}i_1+Z_{22}i_2. Chaque coefficient se mesure un accès ouvert : Z11=u1i1Z_{11}=\dfrac{u_1}{i_1} et Z21=u2i1Z_{21}=\dfrac{u_2}{i_1} pour i2=0i_2=0, Z22Z_{22} et Z12Z_{12} pour i1=0i_1=0, d'où le nom d'impédances à vide.

  • Réciprocité et symétrie. Un quadripôle passif formé de résistances, de condensateurs et de bobines est réciproque : Z12=Z21Z_{12}=Z_{21}. S'il est de plus symétrique, l'entrée et la sortie jouant le même rôle, Z11=Z22Z_{11}=Z_{22}.

  • Schéma équivalent en T. Un quadripôle réciproque équivaut à un T : une impédance Z11−Z12Z_{11}-Z_{12} côté entrée, une impédance Z22−Z12Z_{22}-Z_{12} côté sortie, et Z12Z_{12} dans la branche commune.

  • Autres matrices. La matrice admittance YY exprime les courants en fonction des tensions, avec Y=Z−1Y=Z^{-1} quand ZZ est inversible ; ses coefficients se mesurent un accès en court-circuit. La matrice hybride HH mélange les deux descriptions, comme pour le transistor ; la matrice de transfert relie (u1,i1)(u_1,i_1) à (u2,−i2)(u_2,-i_2).

  • Associations. Deux quadripôles en série, entrées en série et sorties en série, ont pour matrice impédance la somme de leurs matrices, à condition que chaque accès garde un courant entrant égal au courant sortant ; en parallèle, ce sont les matrices admittances qui s'ajoutent ; en cascade, les matrices de transfert se multiplient.

  • Quadripôle chargé. Une impédance ZcZ_c branchée en sortie impose u2=−Zci2u_2=-Z_ci_2, avec les conventions ci-dessus. L'impédance d'entrée vaut alors Ze=u1i1=Z11−Z12Z21Z22+ZcZ_e=\dfrac{u_1}{i_1}=Z_{11}-\dfrac{Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_c}, et le gain en tension se déduit des deux équations.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Calculer les quatre coefficients ZijZ_{ij} d'un réseau de résistances par des essais à vide, en respectant le sens entrant des deux courants d'accès.

  • Vérifier la réciprocité Z12=Z21Z_{12}=Z_{21}, et la symétrie quand elle est attendue, pour contrôler un calcul.

  • Construire le schéma en T équivalent à une matrice impédance donnée, et inversement.

  • Calculer l'impédance d'entrée et le gain en tension d'un quadripôle fermé sur une charge.

  • Passer de la matrice impédance à la matrice admittance par inversion, et associer deux quadripôles en série ou en parallèle.

L'erreur classique

Calculer une impédance à vide avec la sortie en court-circuit

Pour trouver Z11Z_{11}, on calcule parfois la résistance d'entrée en reliant les bornes de sortie par un fil. Or Z11=u1i1Z_{11}=\dfrac{u_1}{i_1} quand i2=0i_2=0 : la sortie doit être ouverte. Sortie en court-circuit, u2=0u_2=0, on obtient une autre grandeur, 1Y11\dfrac{1}{Y_{11}}.

Sur un T formé de R1R_1 côté entrée, R2R_2 côté sortie et R3R_3 dans la branche commune, la sortie ouverte laisse R2R_2 sans courant : Z11=R1+R3Z_{11}=R_1+R_3. Sortie en court-circuit, on trouverait R1+R2R3R2+R3R_1+\dfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}, une autre valeur.

Même vigilance pour le sens de i2i_2 : les formules supposent les deux courants entrants. Orienter i2i_2 sortant change le signe de Z12Z_{12} et de Z22Z_{22} ; un Z22Z_{22} négatif pour un réseau de résistances trahit cette erreur.

Exemples corrigés

Exemple 1 — La matrice impédance d'un T de résistances

Un quadripôle en T est formé de R1=10 ΩR_1=10\,\Omega côté entrée, R2=20 ΩR_2=20\,\Omega côté sortie et R3=30 ΩR_3=30\,\Omega dans la branche commune. Les courants i1i_1 et i2i_2 entrent par les bornes supérieures. Calculer sa matrice impédance.

Corrigé

Sortie ouverte (i2=0i_2=0) : R2R_2 n'est parcourue par aucun courant, et i1i_1 traverse R1R_1 puis R3R_3. Donc u1=(R1+R3) i1u_1=(R_1+R_3)\,i_1, et u2u_2 est la tension aux bornes de R3R_3, u2=R3 i1u_2=R_3\,i_1 :

Z11=R1+R3=40 Ω,Z21=R3=30 Ω.Z_{11}=R_1+R_3=40\,\Omega,\qquad Z_{21}=R_3=30\,\Omega.

Entrée ouverte (i1=0i_1=0) : de même, Z22=R2+R3=50 ΩZ_{22}=R_2+R_3=50\,\Omega et Z12=R3=30 ΩZ_{12}=R_3=30\,\Omega. D'où

Z=(40303050) Ω.Z=\begin{pmatrix}40&30\\30&50\end{pmatrix}\,\Omega.

On a bien Z12=Z21Z_{12}=Z_{21} : le quadripôle est réciproque, mais pas symétrique puisque Z11≠Z22Z_{11}\neq Z_{22}. Le schéma en T redonne les résistances : Z11−Z12=10 ΩZ_{11}-Z_{12}=10\,\Omega, Z22−Z12=20 ΩZ_{22}-Z_{12}=20\,\Omega et Z12=30 ΩZ_{12}=30\,\Omega.

Exemple 2 — Impédance d'entrée et gain d'un quadripôle chargé

On ferme la sortie du T de l'exemple précédent (Z11=40 ΩZ_{11}=40\,\Omega, Z12=Z21=30 ΩZ_{12}=Z_{21}=30\,\Omega, Z22=50 ΩZ_{22}=50\,\Omega) sur une résistance Rc=25 ΩR_c=25\,\Omega. Calculer son impédance d'entrée et son gain en tension u2u1\dfrac{u_2}{u_1}.

Corrigé

La charge reçoit par sa borne supérieure le courant −i2-i_2 ; en convention récepteur, u2=−Rci2u_2=-R_ci_2. La seconde équation de la matrice donne

−Rci2=Z21i1+Z22i2⟹i2=−Z21Z22+Rc i1=−3075 i1=−0,4 i1.-R_ci_2=Z_{21}i_1+Z_{22}i_2\quad\Longrightarrow\quad i_2=-\frac{Z_{21}}{Z_{22}+R_c}\,i_1=-\frac{30}{75}\,i_1=-0{,}4\,i_1.

Impédance d'entrée. u1=Z11i1+Z12i2=(40−30×0,4) i1=28 i1u_1=Z_{11}i_1+Z_{12}i_2=(40-30\times0{,}4)\,i_1=28\,i_1, soit Ze=28 ΩZ_e=28\,\Omega. Contrôle direct sur le schéma : R1+(R3∥(R2+Rc))=10+30×4575=28 ΩR_1+\big(R_3\parallel(R_2+R_c)\big)=10+\dfrac{30\times45}{75}=28\,\Omega.

Gain. u2=−Rci2=25×0,4 i1=10 i1u_2=-R_ci_2=25\times0{,}4\,i_1=10\,i_1, d'où u2u1=1028≈0,36\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{10}{28}\approx0{,}36.

Exemple 3 — De la matrice impédance à la matrice admittance

Pour le même T (Z11=40 ΩZ_{11}=40\,\Omega, Z12=Z21=30 ΩZ_{12}=Z_{21}=30\,\Omega, Z22=50 ΩZ_{22}=50\,\Omega), calculer la matrice admittance Y=Z−1Y=Z^{-1} et interpréter Y11Y_{11}.

Corrigé

Le déterminant vaut det⁡Z=40×50−30×30=1100 Ω2\det Z=40\times50-30\times30=1100\,\Omega^2, non nul, donc

Y=Z−1=11100(50−30−3040) S,Y11=501100=122 S≈45,5 mS.Y=Z^{-1}=\frac{1}{1100}\begin{pmatrix}50&-30\\-30&40\end{pmatrix}\,\mathrm{S},\qquad Y_{11}=\frac{50}{1100}=\frac{1}{22}\,\mathrm{S}\approx45{,}5\,\mathrm{mS}.

Y11=i1u1Y_{11}=\dfrac{i_1}{u_1} quand u2=0u_2=0 : c'est l'inverse de la résistance d'entrée sortie en court-circuit. Contrôle sur le schéma : R1+(R2∥R3)=10+20×3050=22 ΩR_1+(R_2\parallel R_3)=10+\dfrac{20\times30}{50}=22\,\Omega, dont l'inverse redonne Y11Y_{11}. Cette résistance diffère de Z11=40 ΩZ_{11}=40\,\Omega, mesurée sortie ouverte : les deux essais ne décrivent pas la même situation.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi parle-t-on d'impédances à vide ?

Parce que chaque coefficient de la matrice impédance se mesure en laissant l'autre accès ouvert, donc parcouru par un courant nul. Z11 est l'impédance d'entrée sortie ouverte, Z22 l'impédance de sortie entrée ouverte, et Z12, Z21 sont des impédances de transfert entre les deux accès.

Que signifie qu'un quadripôle est réciproque ?

Cela signifie que Z12 = Z21 : un courant injecté à l'entrée produit à la sortie ouverte la même tension que le même courant injecté à la sortie produit à l'entrée ouverte. Les réseaux passifs linéaires de résistances, de condensateurs et de bobines sont réciproques ; un amplificateur ne l'est pas.

Un quadripôle a-t-il toujours une matrice impédance ?

Non. Une simple impédance placée en série entre l'entrée et la sortie impose i1 = -i2 : on ne peut pas faire circuler un courant d'entrée avec la sortie ouverte, et la matrice impédance n'existe pas. Ce quadripôle a en revanche une matrice admittance ; c'est l'inverse pour une impédance placée en parallèle entre les deux lignes.

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À revoir, pour aller plus loin

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