Physique · Électrocinétique · chapitre 1 sur 5

Dipôles actifs et passifs

Électrocinétique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Un dipôle est un composant à deux bornes, décrit par la relation entre la tension à ses bornes et le courant qui le traverse. Ce chapitre fixe le vocabulaire et les conventions qui servent dans tout le module : sens du courant, flèche de tension, puissance reçue ou fournie. Une convention mal posée ici se paie plus tard par des erreurs de signe.

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Ce que couvre le chapitre

  • Courant et tension. L'intensité i=dqdti=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} est le débit de charge à travers une section du conducteur, en ampères ; la tension uAB=VA−VBu_{AB}=V_A-V_B, en volts, se représente par une flèche pointée vers AA. Dans l'approximation des régimes quasi stationnaires, le courant a la même valeur en tout point d'une branche.

  • Conventions. En convention récepteur, les flèches de courant et de tension sont de sens opposés ; en convention générateur, elles sont de même sens. Le choix est libre, mais il fixe les signes : pour une résistance, u=Riu=Ri en convention récepteur et u=−Riu=-Ri en convention générateur.

  • Puissance. En convention récepteur, p=uip=ui est la puissance reçue par le dipôle ; en convention générateur, p=uip=ui est la puissance fournie. Un dipôle fonctionne en récepteur quand la puissance qu'il reçoit est positive, en générateur sinon.

  • Résistances. Loi d'Ohm u=Riu=Ri en convention récepteur, conductance G=1RG=\dfrac1R en siemens, effet Joule p=Ri2≥0p=Ri^2\geq0. En série, Req=R1+R2R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2 ; en parallèle, 1Req=1R1+1R2\dfrac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}, soit Req=R1R2R1+R2R_{\mathrm{eq}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}.

  • Sources idéales. Une source idéale de tension impose u=Eu=E quel que soit le courant débité ; une source idéale de courant impose i=I0i=I_0 quelle que soit la tension à ses bornes. Ce sont des dipôles actifs : ils peuvent fournir de l'énergie au reste du circuit.

  • Sources réelles. Modèle de Thévenin : une force électromotrice EE en série avec une résistance interne rr, soit u=E−riu=E-ri en convention générateur. Modèle de Norton : une source de courant I0I_0 en parallèle avec rr. Les deux modèles décrivent le même dipôle si E=rI0E=rI_0.

  • Caractéristiques. La caractéristique d'un dipôle est la courbe u(i)u(i) ; il est passif si elle passe par l'origine, actif sinon. C'est une droite passant par l'origine pour une résistance, une droite affine pour une source réelle, une courbe pour une diode. Le point de fonctionnement d'un circuit est l'intersection des caractéristiques du générateur et du récepteur.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Orienter un circuit : placer les flèches de courant et de tension, dire pour chaque dipôle s'il est en convention récepteur ou générateur, puis écrire sa relation u(i)u(i) avec le bon signe.

  • Calculer la puissance reçue ou fournie par chaque dipôle et vérifier le bilan : la puissance fournie par les générateurs est égale à la puissance reçue par les récepteurs.

  • Réduire pas à pas une association de résistances en série et en parallèle jusqu'à une résistance équivalente, sans confondre les deux règles.

  • Passer du modèle de Thévenin d'une source réelle à son modèle de Norton, et inversement, avec E=rI0E=rI_0.

  • Trouver le point de fonctionnement d'un générateur branché sur un récepteur, par le calcul ou graphiquement à partir des deux caractéristiques.

L'erreur classique

Écrire u = Ri sans regarder la convention

On place la flèche de tension uu d'une résistance dans le même sens que le courant ii — c'est la convention générateur — et l'on écrit quand même u=Riu=Ri. Avec R=100 ΩR=100\,\Omega et i=20 mAi=20\,\mathrm{mA}, on annonce u=2 Vu=2\,\mathrm{V}, alors que la tension ainsi fléchée vaut −2 V-2\,\mathrm{V} ; et l'on prend uiui pour la puissance reçue, alors que c'est ici la puissance fournie.

La bonne méthode : pour chaque dipôle, regarder d'abord les deux flèches.

  • Sens opposés : convention récepteur, u=Riu=Ri, et uiui est la puissance reçue.
  • Même sens : convention générateur, u=−Riu=-Ri, et uiui est la puissance fournie.

Une résistance reçoit toujours Ri2≥0Ri^2\geq0 : si un calcul dit le contraire, la convention a été mal lue.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une résistance équivalente et un bilan de puissance

Entre deux points AA et BB, une résistance R1=10 ΩR_1=10\,\Omega est en série avec l'association en parallèle de R2=30 ΩR_2=30\,\Omega et R3=60 ΩR_3=60\,\Omega. Une source idéale de tension E=12 VE=12\,\mathrm{V} est branchée entre AA et BB. Calculer RABR_{AB}, le courant débité par la source, les courants dans R2R_2 et R3R_3, et la puissance fournie.

Corrigé

Résistance équivalente. On réduit d'abord le parallèle, puis la série :

R2∥R3=R2R3R2+R3=30×6090=20 Ω,RAB=R1+20 Ω=30 Ω.R_2\parallel R_3=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\frac{30\times60}{90}=20\,\Omega,\qquad R_{AB}=R_1+20\,\Omega=30\,\Omega.

Courants. La source débite I=ERAB=1230=0,4 AI=\dfrac{E}{R_{AB}}=\dfrac{12}{30}=0{,}4\,\mathrm{A}. La tension aux bornes du parallèle vaut 20×0,4=8 V20\times0{,}4=8\,\mathrm{V}, d'où I2=830≈0,267 AI_2=\dfrac{8}{30}\approx0{,}267\,\mathrm{A} et I3=860≈0,133 AI_3=\dfrac{8}{60}\approx0{,}133\,\mathrm{A}, dont la somme redonne 0,4 A0{,}4\,\mathrm{A}.

Puissance. La source, en convention générateur, fournit P=EI=12×0,4=4,8 WP=EI=12\times0{,}4=4{,}8\,\mathrm{W}, entièrement reçue par les résistances : RABI2=30×0,16=4,8 WR_{AB}I^2=30\times0{,}16=4{,}8\,\mathrm{W}.

Exemple 2 — Une source réelle et ses deux modèles

Une pile est modélisée par une force électromotrice E=6 VE=6\,\mathrm{V} en série avec une résistance interne r=2 Ωr=2\,\Omega. On la branche sur une résistance R=10 ΩR=10\,\Omega. Calculer le courant, la tension aux bornes de la pile et les puissances mises en jeu, puis retrouver la tension avec le modèle de Norton.

Corrigé

On oriente le courant II pour qu'il sorte par la borne ++ de la pile. La pile est alors en convention générateur, U=E−rIU=E-rI, et la résistance en convention récepteur, U=RIU=RI. Donc

I=ER+r=612=0,5 A,U=RI=5 V.I=\frac{E}{R+r}=\frac{6}{12}=0{,}5\,\mathrm{A},\qquad U=RI=5\,\mathrm{V}.

Puissances. La résistance reçoit UI=2,5 WUI=2{,}5\,\mathrm{W}. La force électromotrice fournit EI=3 WEI=3\,\mathrm{W}, dont rI2=0,5 WrI^2=0{,}5\,\mathrm{W} sont dissipés dans la pile elle-même.

Modèle de Norton. I0=Er=3 AI_0=\dfrac{E}{r}=3\,\mathrm{A} en parallèle avec rr. La source de courant débite dans r∥R=2×1012=53 Ωr\parallel R=\dfrac{2\times10}{12}=\dfrac53\,\Omega, d'où U=53×3=5 VU=\dfrac53\times3=5\,\mathrm{V} : le même résultat, comme il se doit.

Exemple 3 — Une batterie en charge, dipôle actif qui reçoit de la puissance

Une source de force électromotrice E1=12 VE_1=12\,\mathrm{V} et de résistance interne r1=0,5 Ωr_1=0{,}5\,\Omega recharge une batterie de force électromotrice E2=10 VE_2=10\,\mathrm{V} et de résistance interne r2=0,5 Ωr_2=0{,}5\,\Omega : les deux bornes ++ sont reliées entre elles, ainsi que les deux bornes −-. Calculer le courant et dire quel dipôle fonctionne en récepteur.

Corrigé

On oriente II pour qu'il sorte par la borne ++ de la source et entre par la borne ++ de la batterie ; UU est la tension commune entre les bornes ++ et −-. La source est en convention générateur, U=E1−r1IU=E_1-r_1I ; la batterie est en convention récepteur, U=E2+r2IU=E_2+r_2I. En égalant :

I=E1−E2r1+r2=12−101=2 A,U=12−0,5×2=11 V.I=\frac{E_1-E_2}{r_1+r_2}=\frac{12-10}{1}=2\,\mathrm{A},\qquad U=12-0{,}5\times2=11\,\mathrm{V}.

La batterie reçoit UI=22 W>0UI=22\,\mathrm{W}>0 : bien qu'active, elle fonctionne en récepteur. Elle stocke E2I=20 WE_2I=20\,\mathrm{W} sous forme chimique et dissipe r2I2=2 Wr_2I^2=2\,\mathrm{W} ; la source fournit E1I=24 WE_1I=24\,\mathrm{W}, dont 2 W2\,\mathrm{W} perdus dans r1r_1.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle différence entre convention récepteur et convention générateur ?

Ce sont deux façons d'orienter la tension par rapport au courant. En convention récepteur, les flèches de tension et de courant sont de sens opposés et le produit ui est la puissance reçue ; en convention générateur, elles sont de même sens et ui est la puissance fournie. Le choix ne change pas la physique, seulement le signe des relations écrites.

Un dipôle actif est-il toujours un générateur ?

Non. Un dipôle actif contient une source d'énergie, mais il peut fonctionner en récepteur : une batterie en charge reçoit de la puissance. C'est le signe de la puissance reçue, calculée dans une convention annoncée, qui dit si un dipôle fonctionne en générateur ou en récepteur.

Pourquoi deux résistances en parallèle équivalent-elles à une résistance plus petite que chacune d'elles ?

Parce que chaque branche ajoutée offre un chemin de plus au courant : en parallèle, ce sont les conductances qui s'ajoutent. La conductance totale dépasse donc chacune des conductances, et la résistance équivalente, son inverse, est plus petite que la plus petite des résistances associées.

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À revoir, pour aller plus loin

ÉlectrocinétiqueLois de Kirchhoff et principe de superpositionLois de Kirchhoff en électrocinétique : loi des nœuds, loi des mailles, ponts diviseurs, principe de superposition et extinction des sources, exemples corrigés.

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