Mathématiques · Algèbre 2 · chapitre 1 sur 4

Nombres complexes

Algèbre 2, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Les nombres complexes prolongent les réels par un nombre i tel que i² = -1. On les écrit sous forme algébrique, trigonométrique ou exponentielle, et le choix de la forme fait une bonne part du calcul : l'algébrique pour additionner, l'exponentielle pour multiplier, élever à une puissance ou extraire une racine. Ils traduisent aussi la géométrie du plan en calculs.

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Ce que couvre le chapitre

  • Forme algébrique. Tout z∈Cz\in\mathbb{C} s'écrit de façon unique z=a+ibz=a+ib, avec a=Re⁡za=\operatorname{Re}z et b=Im⁡zb=\operatorname{Im}z réels. Le conjugué z‾=a−ib\overline{z}=a-ib vérifie zz‾=a2+b2z\overline{z}=a^2+b^2 : pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur.

  • Module. ∣z∣=a2+b2=zz‾|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}} ; ∣zz′∣=∣z∣ ∣z′∣|zz'|=|z|\,|z'|, ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|} pour z′≠0z'\neq0, et l'inégalité triangulaire ∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣|z+z'|\leq|z|+|z'|.

  • Argument, formes trigonométrique et exponentielle. Tout z≠0z\neq0 s'écrit z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}, avec r=∣z∣>0r=|z|>0 et un argument θ\theta défini à 2π2\pi près. Dans un produit, les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent : reiθ×r′eiθ′=rr′ei(θ+θ′)re^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}.

  • Moivre et Euler. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) pour n∈Zn\in\mathbb{Z}, et cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. La première formule exprime cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta) à l'aide de cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta ; les deux autres linéarisent cos⁡nθ\cos^n\theta et sin⁡nθ\sin^n\theta.

  • Racines n-ièmes. Pour n≥1n\geq1, les racines nn-ièmes de l'unité sont les e2ikπ/ne^{2ik\pi/n}, 0≤k≤n−10\leq k\leq n-1, et leur somme est nulle si n≥2n\geq2. Un complexe non nul ρeiα\rho e^{i\alpha}, avec ρ>0\rho>0, a exactement nn racines nn-ièmes : les ρ1/nei(α+2kπ)/n\rho^{1/n}e^{i(\alpha+2k\pi)/n}, 0≤k≤n−10\leq k\leq n-1.

  • Équations du second degré. Pour a,b,c∈Ca,b,c\in\mathbb{C} avec a≠0a\neq0, les solutions de az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 sont −b±δ2a\dfrac{-b\pm\delta}{2a}, où δ\delta est une racine carrée complexe de Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. On calcule δ=x+iy\delta=x+iy grâce à x2−y2=Re⁡Δx^2-y^2=\operatorname{Re}\Delta, 2xy=Im⁡Δ2xy=\operatorname{Im}\Delta et x2+y2=∣Δ∣x^2+y^2=|\Delta|.

  • Géométrie. Si AA, BB, CC ont pour affixes aa, bb, cc, avec A≠BA\neq B et A≠CA\neq C, alors AB=∣b−a∣AB=|b-a| et un argument de c−ab−a\dfrac{c-a}{b-a} mesure l'angle orienté (AB→,AC→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}). Les applications z↦z+uz\mapsto z+u, z↦eiθzz\mapsto e^{i\theta}z et z↦kzz\mapsto kz, avec kk réel non nul, sont une translation, une rotation et une homothétie de centre OO.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Passer d'une forme à l'autre : module et argument d'un complexe donné sous forme algébrique, forme algébrique d'un complexe donné par son module et son argument.

  • Calculer une puissance ou un quotient par la forme exponentielle, et en déduire des valeurs exactes de cosinus et de sinus.

  • Linéariser cos⁡3θ\cos^3\theta ou sin⁡2θcos⁡θ\sin^2\theta\cos\theta par les formules d'Euler, et exprimer cos⁡(3θ)\cos(3\theta) en fonction de cos⁡θ\cos\theta par la formule de Moivre.

  • Déterminer les racines nn-ièmes d'un complexe, sous forme exponentielle puis sous forme algébrique quand c'est possible.

  • Résoudre une équation du second degré à coefficients complexes, en calculant une racine carrée du discriminant sous forme algébrique.

  • Traduire une configuration géométrique (alignement, orthogonalité, triangle équilatéral) par une condition sur les affixes.

L'erreur classique

Prendre arctan(b/a) pour un argument de a + ib

Pour z=−1−i3z=-1-i\sqrt3, on écrit tan⁡θ=−3−1=3\tan\theta=\dfrac{-\sqrt3}{-1}=\sqrt3, puis « θ=π3\theta=\dfrac{\pi}{3} ». C'est faux : 2eiπ/3=1+i32e^{i\pi/3}=1+i\sqrt3, c'est-à-dire −z-z. La tangente ne distingue pas θ\theta de θ+π\theta+\pi, et arctan⁡\arctan ne prend que des valeurs de ]−π2,π2[\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ : la formule θ=arctan⁡ba\theta=\arctan\dfrac{b}{a} ne donne un argument de a+iba+ib que si a>0a>0.

La méthode sûre : calculer r=∣z∣r=|z|, puis chercher θ\theta tel que cos⁡θ=ar\cos\theta=\dfrac{a}{r} et sin⁡θ=br\sin\theta=\dfrac{b}{r}. Ici r=1+3=2r=\sqrt{1+3}=2, cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac12 et sin⁡θ=−32\sin\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}, donc θ≡−2π3(mod2π)\theta\equiv-\dfrac{2\pi}{3}\pmod{2\pi} et z=2e−2iπ/3z=2e^{-2i\pi/3}.

Même vigilance avec un « module » négatif : −2eiπ/5-2e^{i\pi/5} a pour module 22 et pour argument π5+π=6π5\dfrac{\pi}{5}+\pi=\dfrac{6\pi}{5}, puisque −1=eiπ-1=e^{i\pi}.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Un quotient sous deux formes

Soit w=1+i3−iw=\dfrac{1+i}{\sqrt3-i}. Écrire ww sous forme algébrique et sous forme exponentielle, en déduire cos⁡5π12\cos\dfrac{5\pi}{12}, puis calculer w12w^{12}.

Corrigé

Forme algébrique. On multiplie par le conjugué du dénominateur, de module au carré 3+1=43+1=4 :

w=(1+i)(3+i)4=(3−1)+i(3+1)4.w=\frac{(1+i)(\sqrt3+i)}{4}=\frac{(\sqrt3-1)+i(\sqrt3+1)}{4}.

Forme exponentielle. 1+i=2 eiπ/41+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4} et 3−i=2e−iπ/6\sqrt3-i=2e^{-i\pi/6}, donc

w=22 ei(π/4+π/6)=22 e5iπ/12.w=\frac{\sqrt2}{2}\,e^{i(\pi/4+\pi/6)}=\frac{\sqrt2}{2}\,e^{5i\pi/12}.

Valeur exacte. En identifiant les parties réelles, 22cos⁡5π12=3−14\dfrac{\sqrt2}{2}\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt3-1}{4}, d'où cos⁡5π12=3−122=6−24\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.

Puissance. w12=(22)12e5iπ=164×(−1)=−164w^{12}=\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{12}e^{5i\pi}=\dfrac{1}{64}\times(-1)=-\dfrac{1}{64}.

Exemple 2 — Les racines quatrièmes d'un complexe

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z4=−8+8i3z^4=-8+8i\sqrt3, et donner les solutions sous forme algébrique.

Corrigé

On écrit le second membre sous forme exponentielle : ∣−8+8i3∣=64+192=16|-8+8i\sqrt3|=\sqrt{64+192}=16, et

−8+8i3=16(−12+i32)=16 e2iπ/3.-8+8i\sqrt3=16\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=16\,e^{2i\pi/3}.

Les solutions sont les zk=161/4ei(2π/3+2kπ)/4=2ei(π/6+kπ/2)z_k=16^{1/4}e^{i(2\pi/3+2k\pi)/4}=2e^{i(\pi/6+k\pi/2)}, pour k∈{0,1,2,3}k\in\{0,1,2,3\}. La première vaut z0=2eiπ/6=3+iz_0=2e^{i\pi/6}=\sqrt3+i, et chacune des suivantes s'obtient en multipliant la précédente par eiπ/2=ie^{i\pi/2}=i :

z0=3+i,z1=−1+i3,z2=−3−i,z3=1−i3.z_0=\sqrt3+i,\qquad z_1=-1+i\sqrt3,\qquad z_2=-\sqrt3-i,\qquad z_3=1-i\sqrt3.

Vérification sur z0z_0 : (3+i)2=2+2i3(\sqrt3+i)^2=2+2i\sqrt3, puis (2+2i3)2=4−12+8i3=−8+8i3(2+2i\sqrt3)^2=4-12+8i\sqrt3=-8+8i\sqrt3. Les quatre points images forment un carré centré en 00.

Exemple 3 — Une équation du second degré à coefficients complexes

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2−(2+3i)z−5+5i=0z^2-(2+3i)z-5+5i=0.

Corrigé

Le discriminant vaut

Δ=(2+3i)2−4(−5+5i)=(4+12i−9)+20−20i=15−8i.\Delta=(2+3i)^2-4(-5+5i)=(4+12i-9)+20-20i=15-8i.

On cherche δ=x+iy\delta=x+iy tel que δ2=Δ\delta^2=\Delta : x2−y2=15x^2-y^2=15, 2xy=−82xy=-8 et, en égalant les modules, x2+y2=∣Δ∣=225+64=17x^2+y^2=|\Delta|=\sqrt{225+64}=17. On en tire x2=16x^2=16 et y2=1y^2=1, avec xy<0xy<0 : δ=4−i\delta=4-i convient. Les solutions sont

z1=2+3i+4−i2=3+i,z2=2+3i−4+i2=−1+2i.z_1=\frac{2+3i+4-i}{2}=3+i,\qquad z_2=\frac{2+3i-4+i}{2}=-1+2i.

Contrôle : z1+z2=2+3iz_1+z_2=2+3i et z1z2=(3+i)(−1+2i)=−5+5iz_1z_2=(3+i)(-1+2i)=-5+5i, comme l'annoncent les coefficients de l'équation.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi parle-t-on d'un argument et non de l'argument ?

Parce qu'un complexe non nul a une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de 2π : 1 + i a pour arguments π/4, 9π/4 ou -7π/4. On en choisit souvent un dans l'intervalle ]-π, π], appelé argument principal. Le nombre 0, lui, n'a pas d'argument.

Combien l'équation z^n = a a-t-elle de solutions ?

Si a est un complexe non nul et n un entier au moins égal à 1, elle a exactement n solutions. On les obtient toutes en multipliant l'une d'elles par les n racines n-ièmes de l'unité ; leurs points images sont régulièrement répartis sur un cercle de centre 0. Si a = 0, la seule solution est 0.

Peut-on parler de la racine carrée d'un nombre complexe ?

On évite la notation racine carrée pour un complexe qui n'est pas un réel positif. Tout complexe non nul a deux racines carrées opposées, sans que l'une soit privilégiée, et la règle « racine de ab égale racine de a fois racine de b » devient fausse : avec a = b = -1, elle conduirait à 1 = -1. On parle donc d'une racine carrée δ de Δ, c'est-à-dire d'un complexe tel que δ² = Δ.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Nombres complexes » (Algèbre 2) ?

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À revoir, pour aller plus loin

Algèbre 2PolynômesPolynômes en Algèbre 2 : degré, division euclidienne, racines et multiplicité, relations coefficients-racines, factorisation dans C[X] et R[X], avec exemples.Algèbre 2Structures algébriquesStructures algébriques en Algèbre 2 : lois de composition interne, groupes, sous-groupes, morphismes, anneaux et corps, avec l'erreur classique et des exemples.

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