Physique · Optique géométrique · chapitre 4 sur 6

Systèmes de deux lentilles : doublets

Optique géométrique, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Deux lentilles minces placées l'une derrière l'autre forment un doublet, le modèle de nombreux instruments d'optique. La méthode consiste à enchaîner deux conjugaisons : l'image donnée par la première lentille sert d'objet à la seconde. On en déduit les foyers du système, sa vergence par la formule de Gullstrand, et le cas du système afocal, qui transforme un faisceau parallèle en un faisceau parallèle.

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Ce que couvre le chapitre

  • Conjugaisons successives. Pour un doublet de centres O1O_1 et O2O_2, avec e=O1O2‾e=\overline{O_1O_2}, on écrit A→L1A1→L2A′A\xrightarrow{L_1}A_1\xrightarrow{L_2}A' : l'image intermédiaire A1A_1 sert d'objet à L2L_2, réel s'il est avant L2L_2, virtuel s'il est après. Le grandissement du doublet est le produit γ=γ1γ2\gamma=\gamma_1\gamma_2.

  • Changement d'origine. La relation de L2L_2 s'écrit avec des distances mesurées depuis O2O_2 : on passe d'une origine à l'autre par O2A1‾=O2O1‾+O1A1‾=O1A1‾−e\overline{O_2A_1}=\overline{O_2O_1}+\overline{O_1A_1}=\overline{O_1A_1}-e.

  • Foyers du doublet. Le foyer image F′F' est l'image par L2L_2 du foyer F1′F'_1 ; le foyer objet FF est le point dont l'image par L1L_1 est F2F_2. Avec l'intervalle optique Δ=F1′F2‾\Delta=\overline{F'_1F_2}, la relation de Newton de chaque lentille donne F1F‾=−f1′2Δ\overline{F_1F}=-\dfrac{{f'_1}^2}{\Delta} et F2′F′‾=f2′2Δ\overline{F'_2F'}=\dfrac{{f'_2}^2}{\Delta}.

  • Formule de Gullstrand. La vergence du doublet vaut V=V1+V2−e V1V2V=V_1+V_2-e\,V_1V_2, soit f′=−f1′f2′Δf'=-\dfrac{f'_1f'_2}{\Delta} avec Δ=e−f1′−f2′\Delta=e-f'_1-f'_2. Cette distance focale se mesure depuis le point principal image H′H', f′=H′F′‾f'=\overline{H'F'}, et H′H' n'est en général sur aucune des deux lentilles.

  • Lentilles accolées. Si e=0e=0, les vergences s'ajoutent : V=V1+V2V=V_1+V_2. On s'en sert, par exemple, pour mesurer la vergence d'une lentille divergente en l'accolant à une lentille convergente de vergence plus grande.

  • Système afocal. Si F1′F'_1 et F2F_2 sont confondus (Δ=0\Delta=0, soit e=f1′+f2′e=f'_1+f'_2), la vergence est nulle : un faisceau parallèle ressort parallèle. Un faisceau incliné de α\alpha sur l'axe ressort incliné de α′\alpha', avec le grossissement G=α′α=−f1′f2′G=\dfrac{\alpha'}{\alpha}=-\dfrac{f'_1}{f'_2} : c'est le principe des lunettes astronomiques.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Enchaîner deux relations de conjugaison pour trouver l'image finale d'un objet, en changeant d'origine entre les deux lentilles.

  • Construire l'image intermédiaire puis l'image finale, y compris quand l'image intermédiaire est un objet virtuel pour la seconde lentille.

  • Déterminer les foyers objet et image d'un doublet, par conjugaison ou par la relation de Newton.

  • Calculer la vergence d'un doublet par la formule de Gullstrand et en déduire s'il est convergent, divergent ou afocal.

  • Tracer la marche d'un faisceau parallèle incliné dans un système afocal et calculer son grossissement.

L'erreur classique

Garder l'origine de la première lentille

On considère L1L_1 (f1′=10 cmf'_1=10\ \text{cm}) et L2L_2 (f2′=20 cmf'_2=20\ \text{cm}), avec e=O1O2‾=40 cme=\overline{O_1O_2}=40\ \text{cm}, et un objet à 15 cm15\ \text{cm} devant L1L_1. La première conjugaison donne 1O1A1‾=110−115=130\dfrac{1}{\overline{O_1A_1}}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{30}, soit O1A1‾=30 cm\overline{O_1A_1}=30\ \text{cm}. On écrit ensuite, pour L2L_2, « 1O2A′‾−130=120\dfrac{1}{\overline{O_2A'}}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{20} », d'où O2A′‾=12 cm\overline{O_2A'}=12\ \text{cm}. C'est faux : 30 cm30\ \text{cm} est la position de A1A_1 vue depuis O1O_1, pas depuis O2O_2.

Il faut changer d'origine : O2A1‾=O1A1‾−e=30−40=−10 cm\overline{O_2A_1}=\overline{O_1A_1}-e=30-40=-10\ \text{cm}. L'objet A1A_1 est réel pour L2L_2, à 10 cm10\ \text{cm} devant elle, et

1O2A′‾=120−110=−120,soitO2A′‾=−20 cm.\frac{1}{\overline{O_2A'}}=\frac{1}{20}-\frac{1}{10}=-\frac{1}{20},\qquad\text{soit}\qquad\overline{O_2A'}=-20\ \text{cm}.

L'image finale est virtuelle, à 20 cm20\ \text{cm} avant L2L_2. Une erreur voisine consiste à additionner les vergences de deux lentilles qui ne sont pas accolées : V=V1+V2V=V_1+V_2 ne vaut que pour e=0e=0.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une image à travers deux lentilles convergentes

Un doublet est formé de L1L_1 (f1′=10 cmf'_1=10\ \text{cm}) et de L2L_2 (f2′=20 cmf'_2=20\ \text{cm}), avec e=O1O2‾=60 cme=\overline{O_1O_2}=60\ \text{cm}. Un objet ABAB de 0,50 cm0{,}50\ \text{cm} est placé à 15 cm15\ \text{cm} devant L1L_1. Déterminer l'image finale.

Corrigé

Première lentille. 1O1A1‾=110−115=130\dfrac{1}{\overline{O_1A_1}}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{30}, donc O1A1‾=30 cm\overline{O_1A_1}=30\ \text{cm} et γ1=30−15=−2\gamma_1=\dfrac{30}{-15}=-2.

Changement d'origine. O2A1‾=30−60=−30 cm\overline{O_2A_1}=30-60=-30\ \text{cm} : A1A_1 est un objet réel pour L2L_2.

Seconde lentille. 1O2A′‾=120−130=160\dfrac{1}{\overline{O_2A'}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{60}, donc O2A′‾=60 cm\overline{O_2A'}=60\ \text{cm} et γ2=60−30=−2\gamma_2=\dfrac{60}{-30}=-2.

Le grandissement total vaut γ=γ1γ2=4\gamma=\gamma_1\gamma_2=4, donc A′B′‾=2,0 cm\overline{A'B'}=2{,}0\ \text{cm}. L'image finale est réelle, à 60 cm60\ \text{cm} après L2L_2, et droite : elle a été renversée deux fois.

Exemple 2 — La vergence et le foyer image d'un doublet

Deux lentilles convergentes de vergences V1=4,0 δV_1=4{,}0\ \delta et V2=5,0 δV_2=5{,}0\ \delta sont séparées de e=5,0 cme=5{,}0\ \text{cm}. Calculer la vergence du doublet, puis situer son foyer image F′F'.

Corrigé

Gullstrand. Avec e=0,050 me=0{,}050\ \text{m} :

V=V1+V2−e V1V2=4,0+5,0−0,050×4,0×5,0=8,0 δ,V=V_1+V_2-e\,V_1V_2=4{,}0+5{,}0-0{,}050\times4{,}0\times5{,}0=8{,}0\ \delta,

soit f′=1V=12,5 cmf'=\dfrac{1}{V}=12{,}5\ \text{cm} : le doublet est convergent.

Foyer image. C'est l'image de F1′F'_1 par L2L_2. Comme f1′=25 cmf'_1=25\ \text{cm}, O2F1′‾=−5,0+25=20 cm\overline{O_2F'_1}=-5{,}0+25=20\ \text{cm} : un objet virtuel pour L2L_2, dont f2′=20 cmf'_2=20\ \text{cm}. Alors 1O2F′‾=120+120=110\dfrac{1}{\overline{O_2F'}}=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{10}, donc O2F′‾=10 cm\overline{O_2F'}=10\ \text{cm}.

Le foyer image est à 10 cm10\ \text{cm} après L2L_2, et non à 12,5 cm12{,}5\ \text{cm} : la distance focale se compte depuis le point principal H′H', situé ici à 2,5 cm2{,}5\ \text{cm} avant L2L_2.

Exemple 3 — Une lunette afocale

Une lunette est formée d'un objectif de distance focale f1′=1,00 mf'_1=1{,}00\ \text{m} et d'un oculaire de distance focale f2′=4,0 cmf'_2=4{,}0\ \text{cm}. Quelle distance ee entre les deux lentilles rend le système afocal ? Un faisceau parallèle incliné de α=4,0×10−3 rad\alpha=4{,}0\times10^{-3}\ \text{rad} sur l'axe entre dans l'objectif : sous quel angle ressort-il ?

Corrigé

Le système est afocal si F1′=F2F'_1=F_2, soit e=f1′+f2′=104 cme=f'_1+f'_2=104\ \text{cm}. Le faisceau converge en un point B1B_1 du plan focal image de l'objectif, à la distance f1′α=0,40 cmf'_1\alpha=0{,}40\ \text{cm} de l'axe. Ce point est aussi dans le plan focal objet de l'oculaire : le faisceau ressort parallèle à la droite B1O2B_1O_2, donc de l'autre côté de l'axe.

α′=−f1′αf2′=−0,40 cm4,0 cm=−0,10 rad,G=α′α=−f1′f2′=−25.\alpha'=-\frac{f'_1\alpha}{f'_2}=-\frac{0{,}40\ \text{cm}}{4{,}0\ \text{cm}}=-0{,}10\ \text{rad},\qquad G=\frac{\alpha'}{\alpha}=-\frac{f'_1}{f'_2}=-25.

Le faisceau ressort 2525 fois plus incliné, du côté opposé : l'image vue à travers la lunette est renversée.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Peut-on additionner les vergences de deux lentilles ?

Seulement si elles sont accolées. Pour deux lentilles séparées d'une distance e, la formule de Gullstrand retranche le terme e V1 V2. Deux lentilles convergentes séparées de la somme de leurs distances focales forment même un système de vergence nulle, dit afocal.

Que faire quand l'image intermédiaire se forme après la seconde lentille ?

Elle devient un objet virtuel pour la seconde lentille : les rayons convergent vers ce point, mais rencontrent la lentille avant de l'atteindre. La relation de conjugaison s'applique sans changement, avec une distance algébrique O2A1 positive.

À quoi sert un système afocal ?

Il transforme un faisceau parallèle en un autre faisceau parallèle, en multipliant son inclinaison par le grossissement -f'1/f'2. C'est le principe des lunettes astronomiques, qui font voir un astre sous un angle plus grand, et des élargisseurs de faisceau laser.

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