Physique · Optique géométrique · chapitre 2 sur 6

Dioptres et miroirs

Optique géométrique, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Un dioptre sépare deux milieux transparents, un miroir renvoie la lumière : ce sont les éléments de base de tous les systèmes optiques. Le chapitre précise à quelle condition une surface donne d'un point une image nette, pourquoi on se place dans les conditions de Gauss, et établit les relations de conjugaison qui relient la position d'une image à celle de son objet.

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Ce que couvre le chapitre

  • Stigmatisme. Un système est rigoureusement stigmatique pour le couple (A,A′)(A,A') si tous les rayons issus de AA passent, après le système, par un même point A′A', l'image de AA. L'image est réelle si les rayons émergents y passent effectivement, virtuelle si seuls leurs prolongements s'y coupent ; un objet peut, de même, être réel ou virtuel.

  • Conditions de Gauss. Les rayons sont peu inclinés sur l'axe optique et le rencontrent près des sommets des surfaces ; on confond alors sin⁡θ\sin\theta, tan⁡θ\tan\theta et θ\theta, en radians. Dioptres et miroirs sphériques deviennent approximativement stigmatiques et aplanétiques, et toutes les relations de conjugaison qui suivent supposent ces conditions.

  • Conventions. La lumière incidente se propage de gauche à droite, et l'axe optique est orienté dans ce sens, y compris après une réflexion. Les positions sont des distances algébriques mesurées depuis le sommet SS, comme SA‾\overline{SA} ; les tailles AB‾\overline{AB} sont comptées positivement vers le haut, et le grandissement vaut γ=A′B′‾AB‾\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}.

  • Surfaces planes. Le miroir plan donne de AA son symétrique A′A' par rapport au miroir, pour tous les rayons : il est rigoureusement stigmatique, et γ=1\gamma=1. Le dioptre plan, entre les indices nn côté lumière incidente et n′n', n'est stigmatique que de façon approchée : dans les conditions de Gauss, n′HA′‾=nHA‾\dfrac{n'}{\overline{HA'}}=\dfrac{n}{\overline{HA}}, où HH est le projeté de AA sur le dioptre.

  • Dioptre sphérique de sommet SS et de centre CC, entre les indices nn côté lumière incidente et n′n' : n′SA′‾−nSA‾=n′−nSC‾=V\dfrac{n'}{\overline{SA'}}-\dfrac{n}{\overline{SA}}=\dfrac{n'-n}{\overline{SC}}=V, sa vergence, et γ=n SA′‾n′ SA‾\gamma=\dfrac{n\,\overline{SA'}}{n'\,\overline{SA}}. Ses foyers sont en SF′‾=n′V\overline{SF'}=\dfrac{n'}{V} et SF‾=−nV\overline{SF}=-\dfrac{n}{V}.

  • Miroir sphérique de sommet SS et de centre CC : 1SA′‾+1SA‾=2SC‾\dfrac{1}{\overline{SA'}}+\dfrac{1}{\overline{SA}}=\dfrac{2}{\overline{SC}} et γ=−SA′‾SA‾\gamma=-\dfrac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}, la relation du dioptre où l'on pose n′=−nn'=-n. Ses foyers objet et image sont confondus au milieu de [SC][SC]. Un miroir concave a SC‾<0\overline{SC}<0 et il est convergent ; un miroir convexe a SC‾>0\overline{SC}>0 et il est divergent.

  • Réel ou virtuel. Un objet est réel s'il est avant la surface, SA‾<0\overline{SA}<0. Pour un dioptre, l'image est réelle si SA′‾>0\overline{SA'}>0, du côté où la lumière ressort ; pour un miroir, la lumière repart vers la gauche, et l'image est réelle si SA′‾<0\overline{SA'}<0, devant le miroir.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Construire l'image d'un objet par un miroir sphérique, concave ou convexe, avec deux rayons particuliers (par le centre, par le foyer, parallèle à l'axe), puis la retrouver par la relation de conjugaison.

  • Calculer la position et la taille d'une image, puis dire si elle est réelle ou virtuelle, droite ou renversée, d'après les signes de SA′‾\overline{SA'} et de γ\gamma.

  • Calculer une profondeur apparente avec la relation du dioptre plan, en justifiant l'usage des conditions de Gauss.

  • Établir la relation de conjugaison d'un miroir ou d'un dioptre sphérique à partir des lois de Snell-Descartes, en petits angles.

  • Déterminer la vergence et les foyers d'un dioptre sphérique, et dire s'il est convergent ou divergent.

L'erreur classique

Oublier que le centre d'un miroir concave est du côté de la lumière

Un objet est placé à 30 cm30\ \text{cm} devant un miroir concave de rayon 20 cm20\ \text{cm}. On écrit SA‾=−30 cm\overline{SA}=-30\ \text{cm}, ce qui est juste, mais aussi SC‾=+20 cm\overline{SC}=+20\ \text{cm}, parce qu'« un rayon est positif ». La relation donne alors 1SA′‾=220+130\dfrac{1}{\overline{SA'}}=\dfrac{2}{20}+\dfrac{1}{30}, soit SA′‾=+7,5 cm\overline{SA'}=+7{,}5\ \text{cm} : une image virtuelle, droite et réduite, qui est en fait celle d'un miroir convexe.

La lumière arrive par la gauche et le miroir est creux de ce côté : son centre CC est devant lui, du côté de la lumière incidente, donc SC‾=−20 cm\overline{SC}=-20\ \text{cm}. Alors

1SA′‾=2SC‾−1SA‾=−110+130=−115,\frac{1}{\overline{SA'}}=\frac{2}{\overline{SC}}-\frac{1}{\overline{SA}}=-\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=-\frac{1}{15},

soit SA′‾=−15 cm\overline{SA'}=-15\ \text{cm} et γ=−SA′‾SA‾=−0,5\gamma=-\dfrac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}=-0{,}5. L'image est réelle, devant le miroir, renversée et deux fois plus petite, entre FF et CC comme le prévoit la construction. Un tracé rapide des rayons avant le calcul détecte ce genre d'erreur de signe.

Exemples corrigés

Exemple 1 — La profondeur apparente d'une piscine

Une pièce repose au fond d'une piscine, sous 1,60 m1{,}60\ \text{m} d'eau d'indice 1,331{,}33. Une personne penchée au-dessus du bassin la regarde presque à la verticale. À quelle profondeur la voit-elle ?

Corrigé

La lumière va de la pièce vers l'œil, à travers un dioptre plan, de l'eau (n=1,33n=1{,}33) vers l'air (n′=1,00n'=1{,}00). On oriente l'axe vers le haut, dans le sens de la lumière, avec HH à la surface : HA‾=−1,60 m\overline{HA}=-1{,}60\ \text{m}. L'observation presque verticale place dans les conditions de Gauss, donc

HA′‾=n′n HA‾=1,001,33×(−1,60)≈−1,20 m.\overline{HA'}=\frac{n'}{n}\,\overline{HA}=\frac{1{,}00}{1{,}33}\times(-1{,}60)\approx-1{,}20\ \text{m}.

L'image A′A' est virtuelle, du côté de l'eau : la pièce semble à 1,20 m1{,}20\ \text{m} sous la surface, remontée d'environ 0,40 m0{,}40\ \text{m}. Pour une observation oblique, la relation ne vaut plus : la position apparente dépend alors de l'inclinaison des rayons.

Exemple 2 — L'extrémité bombée d'une tige de verre

Une tige de verre d'indice 1,501{,}50 se termine par une calotte sphérique convexe de rayon 2,0 cm2{,}0\ \text{cm}, tournée vers la lumière. Un petit objet est placé dans l'air, sur l'axe, à 8,0 cm8{,}0\ \text{cm} du sommet SS. Calculer la vergence du dioptre et ses foyers, puis la position de l'image et le grandissement.

Corrigé

La lumière va de l'air (n=1,00n=1{,}00) vers le verre (n′=1,50n'=1{,}50). La surface est bombée vers la lumière : son centre est dans le verre, donc SC‾=+2,0 cm\overline{SC}=+2{,}0\ \text{cm}, et SA‾=−8,0 cm\overline{SA}=-8{,}0\ \text{cm}.

Vergence et foyers. V=n′−nSC‾=0,500,020 m=25 δV=\dfrac{n'-n}{\overline{SC}}=\dfrac{0{,}50}{0{,}020\ \text{m}}=25\ \delta, puis SF′‾=n′V=6,0 cm\overline{SF'}=\dfrac{n'}{V}=6{,}0\ \text{cm} et SF‾=−nV=−4,0 cm\overline{SF}=-\dfrac{n}{V}=-4{,}0\ \text{cm}.

Image. En centimètres :

1,50SA′‾=nSA‾+n′−nSC‾=−18,0+0,502,0=0,125,doncSA′‾=12 cm.\frac{1{,}50}{\overline{SA'}}=\frac{n}{\overline{SA}}+\frac{n'-n}{\overline{SC}}=-\frac{1}{8{,}0}+\frac{0{,}50}{2{,}0}=0{,}125,\qquad\text{donc}\qquad\overline{SA'}=12\ \text{cm}.

Puis γ=n SA′‾n′ SA‾=121,50×(−8,0)=−1\gamma=\dfrac{n\,\overline{SA'}}{n'\,\overline{SA}}=\dfrac{12}{1{,}50\times(-8{,}0)}=-1. L'image est réelle, dans le verre à 12 cm12\ \text{cm} du sommet, renversée et de même taille que l'objet.

Exemple 3 — Un miroir grossissant

Un miroir de maquillage est un miroir sphérique concave de rayon 60 cm60\ \text{cm}. Une personne place son visage à 20 cm20\ \text{cm} du sommet. Où se forme l'image, et quel est le grandissement ?

Corrigé

Le miroir est concave et la lumière arrive par la gauche : SC‾=−60 cm\overline{SC}=-60\ \text{cm}, donc le foyer est en SF‾=−30 cm\overline{SF}=-30\ \text{cm}. Le visage est en SA‾=−20 cm\overline{SA}=-20\ \text{cm}, entre le foyer et le sommet. En centimètres :

1SA′‾=2SC‾−1SA‾=−130+120=160,doncSA′‾=60 cm.\frac{1}{\overline{SA'}}=\frac{2}{\overline{SC}}-\frac{1}{\overline{SA}}=-\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{1}{60},\qquad\text{donc}\qquad\overline{SA'}=60\ \text{cm}.

Puis γ=−SA′‾SA‾=−60−20=3\gamma=-\dfrac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}=-\dfrac{60}{-20}=3. L'image est virtuelle, à 60 cm60\ \text{cm} derrière le miroir, droite et trois fois plus grande que le visage. Si l'objet était au-delà du foyer, l'image deviendrait réelle et renversée.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi travaille-t-on dans les conditions de Gauss ?

Parce qu'un dioptre ou un miroir sphérique n'est pas rigoureusement stigmatique : les rayons issus d'un point qui frappent la surface loin de l'axe ne convergent pas au même point que les rayons proches de l'axe. En se limitant aux rayons proches de l'axe et peu inclinés, le stigmatisme devient approché, et les relations de conjugaison prennent une forme simple.

Comment savoir si l'image donnée par un miroir est réelle ?

Une image réelle est traversée par les rayons réfléchis : pour un miroir, elle se trouve devant lui, du côté de la lumière incidente, et on peut la recueillir sur un écran. Avec l'axe orienté dans le sens de la lumière incidente, cela correspond à une distance algébrique SA' négative. Une image située derrière le miroir est virtuelle.

Un miroir convexe peut-il donner une image réelle ?

Pas d'un objet réel. Un miroir convexe est divergent : d'un objet réel, il donne une image virtuelle, droite et réduite, située entre le sommet et le foyer, ce qui lui permet de montrer un large champ, comme dans un rétroviseur. Il peut en revanche donner une image réelle d'un objet virtuel.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Dioptres et miroirs » (Optique géométrique) ?

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