Physique · Optique géométrique · chapitre 1 sur 6

Fondements de l'optique géométrique

Optique géométrique, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Ce chapitre fixe le modèle de tout le module : dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite, et elle change de direction à la traversée d'une surface selon les lois de Snell-Descartes. La formation des images par les dioptres, les miroirs et les lentilles n'est ensuite qu'une application répétée de ces lois, dans des conditions d'approximation précises.

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Ce que couvre le chapitre

  • Le rayon lumineux. Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite, et les rayons sont indépendants les uns des autres. Le modèle suppose que les ouvertures et les obstacles sont grands devant la longueur d'onde, d'environ 0,40{,}4 à 0,8 μm0{,}8\ \mu\text{m} dans le visible ; sinon, la diffraction n'est plus négligeable.

  • Indice de réfraction. Un milieu transparent a pour indice n=cvn=\dfrac{c}{v}, où vv est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c≈3,00×108 m⋅s−1c\approx3{,}00\times10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} sa vitesse dans le vide ; donc n≥1n\geq1. Ordres de grandeur : air 1,001{,}00, eau 1,331{,}33, verre courant 1,51{,}5. L'indice dépend de la longueur d'onde : c'est la dispersion.

  • Lois de Snell-Descartes. Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d'incidence, défini par le rayon incident et la normale à la surface. Avec des angles mesurés à partir de la normale : réflexion i1′=i1i'_1=i_1 (soit i1′=−i1i'_1=-i_1 en angles orientés), réfraction n1sin⁡i1=n2sin⁡i2n_1\sin i_1=n_2\sin i_2. Si n2>n1n_2>n_1, le rayon réfracté se rapproche de la normale.

  • Réflexion totale. Vers un milieu moins réfringent (n2<n1n_2<n_1), la réfraction n'existe que si sin⁡i1≤n2n1\sin i_1\leq\dfrac{n_2}{n_1}. Au-delà de l'angle limite iℓ=arcsin⁡n2n1i_\ell=\arcsin\dfrac{n_2}{n_1}, toute la lumière est réfléchie : c'est le principe des fibres optiques et des prismes à réflexion totale. Vers un milieu plus réfringent, un rayon réfracté existe toujours.

  • Retour inverse de la lumière. Le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de parcours : si un rayon va de AA à BB, la lumière issue de BB peut revenir en AA par le même chemin. On s'en sert pour échanger les rôles de l'objet et de l'image.

  • Principe de Fermat. Le chemin optique le long d'un trajet est L=∫n dsL=\displaystyle\int n\,\mathrm{d}s, égal à cc fois la durée du parcours. Entre deux points, la lumière suit un trajet pour lequel LL est stationnaire, souvent minimal ; les lois de Snell-Descartes et le retour inverse s'en déduisent.

  • Le prisme. Pour un prisme d'angle AA et d'indice nn dans l'air, la réfraction sur chaque face donne sin⁡i=nsin⁡r\sin i=n\sin r et sin⁡i′=nsin⁡r′\sin i'=n\sin r', avec A=r+r′A=r+r'. La déviation D=i+i′−AD=i+i'-A est minimale quand le trajet est symétrique, i=i′i=i'.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Calculer un angle de réfraction avec la loi de Snell-Descartes, en mesurant les angles à partir de la normale et en vérifiant le sens de la déviation.

  • Calculer l'angle limite d'un couple de milieux, et dire si un rayon donné subit une réflexion totale.

  • Suivre un rayon à travers plusieurs surfaces (lame à faces parallèles, prisme), en appliquant la loi de la réfraction à chaque surface et en reliant les angles par la géométrie.

  • Déterminer l'angle d'acceptance d'une fibre optique à saut d'indice, qui combine une réfraction à l'entrée et une réflexion totale sur la gaine.

  • Retrouver la loi de la réfraction à partir du principe de Fermat, en écrivant que le chemin optique entre deux points est stationnaire.

L'erreur classique

Mesurer les angles à partir de la surface

Un rayon arrive de l'air sur une vitre d'indice 1,501{,}50 en faisant un angle de 30∘30^\circ avec sa surface. On lit parfois : « sin⁡30∘=1,50sin⁡i2\sin30^\circ=1{,}50\sin i_2, d'où i2≈19,5∘i_2\approx19{,}5^\circ ». Le calcul est faux dès la première ligne : dans les lois de Snell-Descartes, les angles se mesurent à partir de la normale à la surface, pas à partir de la surface.

Ici, l'angle d'incidence vaut i1=90∘−30∘=60∘i_1=90^\circ-30^\circ=60^\circ, et

sin⁡i2=sin⁡60∘1,50=13≈0,577,donci2≈35,3∘.\sin i_2=\frac{\sin60^\circ}{1{,}50}=\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577,\qquad\text{donc}\qquad i_2\approx35{,}3^\circ.

Le rayon réfracté fait donc 54,7∘54{,}7^\circ avec la surface. Pour éviter l'erreur, on trace la normale au point d'incidence avant d'écrire la moindre relation, puis on contrôle le sens de la déviation : en entrant dans un milieu plus réfringent, le rayon se rapproche de la normale.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Traversée d'une lame à faces parallèles

Un rayon arrive de l'air sous l'incidence i=40∘i=40^\circ sur une lame de verre à faces parallèles, d'indice n=1,50n=1{,}50 et d'épaisseur e=5,0 mme=5{,}0\ \text{mm}. Montrer que le rayon émergent est parallèle au rayon incident, puis calculer le décalage latéral dd entre les deux.

Corrigé

Première face. sin⁡40∘=1,50sin⁡r\sin40^\circ=1{,}50\sin r, donc sin⁡r≈0,6431,50≈0,429\sin r\approx\dfrac{0{,}643}{1{,}50}\approx0{,}429 et r≈25,4∘r\approx25{,}4^\circ.

Seconde face. Les faces étant parallèles, le rayon arrive sur la seconde sous l'incidence rr, et 1,50sin⁡r=sin⁡i′1{,}50\sin r=\sin i' : i′=i=40∘i'=i=40^\circ. Le rayon émergent est parallèle au rayon incident.

Décalage. Dans la lame, le rayon parcourt la longueur ecos⁡r\dfrac{e}{\cos r} en s'écartant de l'angle i−ri-r de la direction incidente, d'où

d=esin⁡(i−r)cos⁡r≈5,0×sin⁡14,6∘cos⁡25,4∘≈5,0×0,2520,903≈1,4 mm.d=\frac{e\sin(i-r)}{\cos r}\approx\frac{5{,}0\times\sin14{,}6^\circ}{\cos25{,}4^\circ}\approx\frac{5{,}0\times0{,}252}{0{,}903}\approx1{,}4\ \text{mm}.

Exemple 2 — Un prisme à réflexion totale

Un prisme de verre d'indice 1,501{,}50 a pour section un triangle rectangle isocèle. Un rayon entre perpendiculairement à l'un des petits côtés et atteint l'hypoténuse sous l'incidence 45∘45^\circ. Est-il totalement réfléchi si le prisme est dans l'air ? Et s'il est plongé dans l'eau, d'indice 1,331{,}33 ?

Corrigé

Le rayon traverse la première face sans déviation, puisqu'il y arrive selon la normale. Sur l'hypoténuse, il passe du verre vers un milieu moins réfringent : il est totalement réfléchi si l'incidence 45∘45^\circ dépasse l'angle limite.

  • Dans l'air : sin⁡iℓ=1,001,50≈0,667\sin i_\ell=\dfrac{1{,}00}{1{,}50}\approx0{,}667, donc iℓ≈41,8∘i_\ell\approx41{,}8^\circ. Comme 45∘>41,8∘45^\circ>41{,}8^\circ, la réflexion est totale : le rayon ressort par l'autre petite face, dévié de 90∘90^\circ.
  • Dans l'eau : sin⁡iℓ=1,331,50≈0,887\sin i_\ell=\dfrac{1{,}33}{1{,}50}\approx0{,}887, donc iℓ≈62,5∘i_\ell\approx62{,}5^\circ. Cette fois 45∘<62,5∘45^\circ<62{,}5^\circ : une partie de la lumière passe dans l'eau, sous l'angle i2i_2 tel que 1,33sin⁡i2=1,50sin⁡45∘1{,}33\sin i_2=1{,}50\sin45^\circ, soit i2≈52,9∘i_2\approx52{,}9^\circ.

L'angle limite dépend des deux milieux, pas seulement du verre.

Exemple 3 — L'angle d'acceptance d'une fibre optique

Une fibre optique à saut d'indice a un cœur d'indice n1=1,48n_1=1{,}48 et une gaine d'indice n2=1,46n_2=1{,}46. Un rayon entre depuis l'air par la face d'entrée, plane et perpendiculaire à l'axe, sous l'incidence θ\theta. Quelle valeur maximale θmax⁡\theta_{\max} permet au rayon d'être guidé par réflexion totale ?

Corrigé

À l'entrée, sin⁡θ=n1sin⁡r\sin\theta=n_1\sin r. La face d'entrée étant perpendiculaire à la paroi du cœur, le rayon réfracté atteint la gaine sous l'incidence i=90∘−ri=90^\circ-r. Il est guidé si sin⁡i≥n2n1\sin i\geq\dfrac{n_2}{n_1}, c'est-à-dire cos⁡r≥n2n1\cos r\geq\dfrac{n_2}{n_1}. Alors

sin⁡θ=n1sin⁡r=n11−cos⁡2r≤n12−n22.\sin\theta=n_1\sin r=n_1\sqrt{1-\cos^2 r}\leq\sqrt{n_1^2-n_2^2}.

Numériquement, 1,482−1,462=0,0588≈0,242\sqrt{1{,}48^2-1{,}46^2}=\sqrt{0{,}0588}\approx0{,}242, donc θmax⁡≈14,0∘\theta_{\max}\approx14{,}0^\circ. Un rayon plus incliné n'est pas totalement réfléchi : à chaque réflexion, une partie de la lumière passe dans la gaine, et le rayon s'affaiblit vite.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi la lumière est-elle déviée quand elle change de milieu ?

Parce que sa vitesse change : elle vaut c/n dans un milieu d'indice n. Le principe de Fermat traduit cela : entre deux points, la lumière suit un trajet de chemin optique stationnaire, et ce trajet se brise sur la surface de séparation. On en déduit la loi n1 sin i1 = n2 sin i2.

Quand y a-t-il réflexion totale ?

Seulement quand la lumière passe dans un milieu moins réfringent et que l'angle d'incidence dépasse l'angle limite, dont le sinus vaut n2/n1. Du verre d'indice 1,5 vers l'air, l'angle limite est voisin de 42 degrés. Dans l'autre sens, de l'air vers le verre, il existe toujours un rayon réfracté.

Le modèle du rayon lumineux est-il toujours valable ?

Non. Il suppose que les ouvertures et les obstacles sont grands devant la longueur d'onde. Quand la lumière traverse une fente ou un trou de quelques micromètres, elle s'étale au-delà de l'ombre géométrique : c'est la diffraction, qui relève de l'optique ondulatoire.

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