Physique · Optique géométrique · chapitre 3 sur 6

Lentilles

Optique géométrique, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Une lentille mince se résume à son centre optique et à ses deux foyers : connaissant sa distance focale, on sait construire puis calculer l'image de n'importe quel objet. Le chapitre établit les relations de conjugaison de Descartes et de Newton, et apprend à passer de la construction au calcul sans perdre les signes des distances algébriques.

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Ce que couvre le chapitre

  • Lentille mince. Deux dioptres, dont l'un au moins est sphérique, d'épaisseur faible devant leurs rayons de courbure : leurs sommets se confondent en un point OO, le centre optique, et un rayon qui passe par OO n'est pas dévié. Dans l'air, une lentille de verre à bords minces est convergente, une lentille à bords épais est divergente.

  • Foyers. La lumière va de gauche à droite et les distances algébriques sont comptées positivement dans ce sens. Le foyer image F′F' est l'image d'un point de l'axe à l'infini ; le foyer objet FF a son image à l'infini. Dans l'air, ils sont symétriques par rapport à OO : f′=OF′‾f'=\overline{OF'} et f=OF‾=−f′f=\overline{OF}=-f'. La lentille est convergente si f′>0f'>0, divergente si f′<0f'<0.

  • Vergence. V=1f′V=\dfrac{1}{f'} s'exprime en dioptries, 1 δ=1 m−11\ \delta=1\ \text{m}^{-1}, avec f′f' en mètres. Pour une lentille mince d'indice nn dans l'air, dont les faces ont pour centres C1C_1 et C2C_2 : V=(n−1)(1OC1‾−1OC2‾)V=(n-1)\left(\dfrac{1}{\overline{OC_1}}-\dfrac{1}{\overline{OC_2}}\right).

  • Constructions. Le rayon qui passe par OO n'est pas dévié ; le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par F′F', ou en semblant en venir pour une lentille divergente ; le rayon qui passe par FF, ou se dirige vers lui, ressort parallèle à l'axe. Pour un rayon quelconque, le rayon parallèle passant par OO coupe le plan focal image en un foyer secondaire, par lequel passe le rayon émergent.

  • Relation de Descartes, origine au centre OO : 1OA′‾−1OA‾=1f′=V\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}=V, et le grandissement vaut γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}.

  • Relation de Newton, origines aux foyers : FA‾⋅F′A′‾=ff′=−f′2\overline{FA}\cdot\overline{F'A'}=ff'=-f'^2, et γ=FO‾FA‾=F′A′‾F′O‾\gamma=\dfrac{\overline{FO}}{\overline{FA}}=\dfrac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}}. Ces égalités se lisent sur la figure, par des triangles semblables de part et d'autre de chaque foyer.

  • Nature de l'image. Un objet est réel avant la lentille (OA‾<0\overline{OA}<0), une image est réelle après (OA′‾>0\overline{OA'}>0). Par une lentille convergente, un objet réel situé avant FF donne une image réelle et renversée, un objet entre FF et OO une image virtuelle, droite et agrandie. Par une lentille divergente, un objet réel donne toujours une image virtuelle, droite et réduite.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Construire l'image d'un objet par une lentille convergente ou divergente avec deux des trois rayons particuliers, y compris quand l'objet ou l'image est virtuel.

  • Tracer le rayon émergent associé à un rayon incident quelconque grâce au foyer secondaire image.

  • Calculer la position et la taille d'une image par la relation de Descartes, la vérifier par celle de Newton, puis conclure : image réelle ou virtuelle, droite ou renversée.

  • Passer de la distance focale à la vergence et inversement, et reconnaître une lentille convergente ou divergente au signe de f′f' ou à sa forme.

  • Trouver les positions d'une lentille convergente qui forment l'image d'un objet sur un écran à la distance DD, et montrer qu'il faut D≥4f′D\geq4f'.

L'erreur classique

Écrire les distances sans leur signe

Un objet est placé à 30 cm30\ \text{cm} devant une lentille convergente de distance focale 10 cm10\ \text{cm}. On lit : « 1OA′‾−130=110\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{10}, donc OA′‾=7,5 cm\overline{OA'}=7{,}5\ \text{cm} ». Le résultat est impossible : l'image réelle d'un objet réel par une lentille convergente se forme toujours au-delà du foyer image, ici à plus de 10 cm10\ \text{cm}.

L'erreur porte sur le signe : l'objet est avant la lentille, donc OA‾=−30 cm\overline{OA}=-30\ \text{cm}. La rédaction correcte est

1OA′‾=1f′+1OA‾=110−130=115,\frac{1}{\overline{OA'}}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=\frac{1}{15},

d'où OA′‾=15 cm\overline{OA'}=15\ \text{cm} et γ=15−30=−0,5\gamma=\dfrac{15}{-30}=-0{,}5 : image réelle, renversée, deux fois plus petite. On écrit chaque position comme une distance algébrique avant de la remplacer par un nombre, et on contrôle par une construction. La même vigilance vaut pour f′f' : une lentille divergente de 20 cm20\ \text{cm} de distance focale a f′=−20 cmf'=-20\ \text{cm}.

Exemples corrigés

Exemple 1 — L'image donnée par une lentille convergente

Un objet ABAB de hauteur 2,0 cm2{,}0\ \text{cm} est placé à 20 cm20\ \text{cm} devant une lentille convergente de distance focale f′=12 cmf'=12\ \text{cm}. Déterminer la position, la taille et la nature de l'image, puis vérifier par la relation de Newton.

Corrigé

Descartes. Avec OA‾=−20 cm\overline{OA}=-20\ \text{cm}, en centimètres :

1OA′‾=112−120=5−360=130,doncOA′‾=30 cm.\frac{1}{\overline{OA'}}=\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{5-3}{60}=\frac{1}{30},\qquad\text{donc}\qquad\overline{OA'}=30\ \text{cm}.

Puis γ=OA′‾OA‾=30−20=−1,5\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{30}{-20}=-1{,}5 et A′B′‾=γ AB‾=−3,0 cm\overline{A'B'}=\gamma\,\overline{AB}=-3{,}0\ \text{cm}. L'image est réelle (après la lentille), renversée et agrandie.

Newton. FA‾=FO‾+OA‾=12−20=−8 cm\overline{FA}=\overline{FO}+\overline{OA}=12-20=-8\ \text{cm}, donc F′A′‾=−f′2FA‾=1448=18 cm\overline{F'A'}=-\dfrac{f'^2}{\overline{FA}}=\dfrac{144}{8}=18\ \text{cm} et OA′‾=OF′‾+F′A′‾=12+18=30 cm\overline{OA'}=\overline{OF'}+\overline{F'A'}=12+18=30\ \text{cm}. Le grandissement γ=FO‾FA‾=12−8=−1,5\gamma=\dfrac{\overline{FO}}{\overline{FA}}=\dfrac{12}{-8}=-1{,}5 concorde.

Exemple 2 — L'image donnée par une lentille divergente

Un objet réel est placé à 30 cm30\ \text{cm} devant une lentille divergente de vergence V=−5,0 δV=-5{,}0\ \delta. Où se trouve l'image, et quel est le grandissement ?

Corrigé

La distance focale vaut f′=1V=−0,20 m=−20 cmf'=\dfrac{1}{V}=-0{,}20\ \text{m}=-20\ \text{cm}, et OA‾=−30 cm\overline{OA}=-30\ \text{cm}. En centimètres :

1OA′‾=1f′+1OA‾=−120−130=−112,doncOA′‾=−12 cm.\frac{1}{\overline{OA'}}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{\overline{OA}}=-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=-\frac{1}{12},\qquad\text{donc}\qquad\overline{OA'}=-12\ \text{cm}.

L'image est virtuelle : elle est avant la lentille, du côté de l'objet, entre F′F' et OO. Le grandissement γ=−12−30=0,4\gamma=\dfrac{-12}{-30}=0{,}4 est positif et inférieur à 11 : l'image est droite et réduite. La construction le confirme : le rayon parallèle à l'axe ressort en semblant venir de F′F', à 20 cm20\ \text{cm} avant la lentille.

Exemple 3 — Projeter une image sur un écran

Un écran est placé à D=1,00 mD=1{,}00\ \text{m} d'un objet. Où placer une lentille convergente de distance focale f′=16 cmf'=16\ \text{cm} pour former sur l'écran une image de l'objet ? Quel est le grandissement dans chaque cas ?

Corrigé

On pose x=OA‾<0x=\overline{OA}<0 ; l'écran est alors en OA′‾=x+D\overline{OA'}=x+D. La relation de Descartes donne

1x+D−1x=1f′  ⟺  x2+Dx+Df′=0.\frac{1}{x+D}-\frac{1}{x}=\frac{1}{f'}\iff x^2+Dx+Df'=0.

Il y a des solutions si et seulement si D2−4Df′≥0D^2-4Df'\geq0, soit D≥4f′D\geq4f'. Ici, en centimètres, x2+100x+1600=0x^2+100x+1600=0 a pour discriminant 36003600, d'où x=−20x=-20 ou x=−80x=-80.

  • Lentille à 20 cm20\ \text{cm} de l'objet : OA′‾=80 cm\overline{OA'}=80\ \text{cm} et γ=80−20=−4\gamma=\dfrac{80}{-20}=-4.
  • Lentille à 80 cm80\ \text{cm} de l'objet : OA′‾=20 cm\overline{OA'}=20\ \text{cm} et γ=20−80=−0,25\gamma=\dfrac{20}{-80}=-0{,}25.

Les deux positions s'échangent par le retour inverse de la lumière : les distances à l'objet et à l'écran sont permutées, et le produit des deux grandissements vaut 11.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment reconnaître une lentille convergente ?

Dans l'air, une lentille de verre à bords minces est convergente et une lentille à bords épais est divergente. Une lentille convergente donne sur un écran l'image réelle d'un objet lointain, et un texte vu de près à travers elle paraît agrandi ; à travers une lentille divergente, il paraît réduit. Par le calcul, le signe de la distance focale image ou de la vergence tranche.

Quelle différence entre les relations de Descartes et de Newton ?

Elles décrivent la même conjugaison avec des origines différentes : le centre optique pour Descartes, les foyers pour Newton. La relation de Newton est commode quand les positions sont repérées par rapport aux foyers, celle de Descartes quand on connaît les distances à la lentille. Les deux demandent des distances algébriques.

Que signifie une vergence de -4 dioptries ?

La vergence est l'inverse de la distance focale image exprimée en mètres. Une vergence de -4 dioptries correspond à une lentille divergente de distance focale image -0,25 m, soit -25 cm. Plus la vergence est grande en valeur absolue, plus la lentille dévie les rayons.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Lentilles » (Optique géométrique) ?

Oui. Sur MC² Academy, le chapitre « Lentilles » du module Optique géométrique compte 1 résumé et 3 séries d'exercices corrigés. L'inscription est gratuite.

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