Mathématiques · Algèbre 2 · chapitre 4 sur 4

Structures algébriques

Algèbre 2, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Ce chapitre donne un nom à des propriétés déjà rencontrées avec les nombres, les applications et les polynômes : associativité, élément neutre, symétrique. Un groupe est un ensemble muni d'une loi qui les réunit toutes ; un anneau et un corps en ont deux, une addition et une multiplication. Un théorème démontré une fois pour les groupes vaut ensuite dans chaque exemple.

Sur MC² : 4 vidéos · 1 h 18 · 2 résumés de cours · 2 séries d'exercices corrigés du cours

Ce que couvre le chapitre

  • Loi de composition interne sur EE : une application E×E→EE\times E\to E, (x,y)↦x∗y(x,y)\mapsto x\ast y. Elle peut être associative, commutative, et avoir un élément neutre ee, tel que x∗e=e∗x=xx\ast e=e\ast x=x pour tout x∈Ex\in E ; s'il existe, le neutre est unique.

  • Symétrique. Pour une loi associative de neutre ee, x′x' est un symétrique de xx si x∗x′=x′∗x=ex\ast x'=x'\ast x=e ; il est unique s'il existe. Le symétrique d'un composé inverse l'ordre : (x∗y)′=y′∗x′(x\ast y)'=y'\ast x'.

  • Groupe : une loi associative, avec un neutre, pour laquelle chaque élément a un symétrique ; le groupe est abélien si la loi est commutative. Exemples : (Z,+)(\mathbb{Z},+), (R∗,×)(\mathbb{R}^*,\times), (U,×)(\mathbb{U},\times) où U\mathbb{U} est l'ensemble des complexes de module 11, et les bijections d'un ensemble dans lui-même pour ∘\circ.

  • Sous-groupe. Une partie HH d'un groupe GG est un sous-groupe si e∈He\in H et si x∗y′∈Hx\ast y'\in H pour tous x,y∈Hx,y\in H ; HH est alors un groupe pour la même loi. Les sous-groupes de (Z,+)(\mathbb{Z},+) sont les nZn\mathbb{Z}, n∈Nn\in\mathbb{N}.

  • Morphismes. f:(G,∗)→(G′,⋆)f:(G,\ast)\to(G',\star) est un morphisme de groupes si f(x∗y)=f(x)⋆f(y)f(x\ast y)=f(x)\star f(y) pour tous x,y∈Gx,y\in G ; alors f(e)=e′f(e)=e' et f(x′)f(x') est le symétrique de f(x)f(x). Le noyau ker⁡f={x∈G:f(x)=e′}\ker f=\{x\in G : f(x)=e'\} est un sous-groupe de GG, et ff est injective si et seulement si ker⁡f={e}\ker f=\{e\}.

  • Anneaux et corps. Dans un anneau (A,+,×)(A,+,\times), (A,+)(A,+) est un groupe abélien, et ×\times est associative, distributive sur ++, avec un neutre 1A1_A. Un corps est un anneau commutatif, avec 1A≠0A1_A\neq0_A, dont tout élément non nul est inversible : Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R}, C\mathbb{C} et Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} pour pp premier en sont ; Z\mathbb{Z} et K[X]\mathbb{K}[X] sont des anneaux qui n'en sont pas.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Vérifier qu'une loi est interne sur un ensemble donné, puis étudier associativité, commutativité, élément neutre et symétriques.

  • Montrer qu'un ensemble est un groupe, de préférence en prouvant qu'il est un sous-groupe d'un groupe connu.

  • Montrer qu'une application est un morphisme de groupes, calculer son noyau et son image, et en déduire si elle est injective ou surjective.

  • Calculer dans un groupe : symétrique d'un composé, simplification x∗y=x∗z⇒y=zx\ast y=x\ast z\Rightarrow y=z, puissances d'un élément.

  • Vérifier les axiomes d'anneau ou de corps sur un exemple, et déterminer les éléments inversibles d'un anneau comme Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

L'erreur classique

Inverser un composé sans changer l'ordre

Dans un groupe noté multiplicativement, on écrit volontiers (xy)−1=x−1y−1(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}. C'est faux dès que la loi n'est pas commutative. Dans le groupe des bijections de R\mathbb{R} muni de la composition, prenons f(x)=x+1f(x)=x+1 et g(x)=2xg(x)=2x. Alors (g∘f)(x)=2x+2(g\circ f)(x)=2x+2, dont la réciproque est y↦y2−1y\mapsto\dfrac{y}{2}-1, alors que g−1∘f−1g^{-1}\circ f^{-1} envoie yy sur y−12=y2−12\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{y}{2}-\dfrac12.

La bonne formule inverse l'ordre : (xy)−1=y−1x−1(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}. Pour la démontrer, on vérifie que y−1x−1y^{-1}x^{-1} est un symétrique de xyxy :

(xy)(y−1x−1)=x(yy−1)x−1=xx−1=e,(xy)(y^{-1}x^{-1})=x(yy^{-1})x^{-1}=xx^{-1}=e,

et de même (y−1x−1)(xy)=e(y^{-1}x^{-1})(xy)=e ; l'unicité du symétrique conclut. On défait d'abord ce qui a été fait en dernier : ici, (g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une loi sur R et l'élément qui fait obstacle

Sur R\mathbb{R}, on pose x∗y=x+y−2xyx\ast y=x+y-2xy. Montrer que (R,∗)(\mathbb{R},\ast) n'est pas un groupe, mais que (G,∗)(G,\ast) en est un, avec G=R∖{12}G=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac12\right\}.

Corrigé

Associativité et neutre. La loi est commutative, et un calcul donne

(x∗y)∗z=x+y+z−2(xy+yz+zx)+4xyz.(x\ast y)\ast z=x+y+z-2(xy+yz+zx)+4xyz.

Cette expression est symétrique en xx, yy, zz ; comme x∗(y∗z)=(y∗z)∗xx\ast(y\ast z)=(y\ast z)\ast x par commutativité, elle vaut aussi x∗(y∗z)x\ast(y\ast z) : la loi est associative. Le réel 00 est neutre, car x∗0=xx\ast0=x.

L'obstacle. Pour tout réel yy, 12∗y=12+y−y=12≠0\dfrac12\ast y=\dfrac12+y-y=\dfrac12\neq0 : le réel 12\dfrac12 n'a pas de symétrique, et (R,∗)(\mathbb{R},\ast) n'est pas un groupe.

Le groupe. L'identité 1−2(x∗y)=(1−2x)(1−2y)1-2(x\ast y)=(1-2x)(1-2y) montre que x∗y≠12x\ast y\neq\dfrac12 dès que x≠12x\neq\dfrac12 et y≠12y\neq\dfrac12 : la loi est interne sur GG, et 0∈G0\in G. Pour x∈Gx\in G, l'équation x∗x′=0x\ast x'=0 s'écrit x′(1−2x)=−xx'(1-2x)=-x, d'où x′=x2x−1x'=\dfrac{x}{2x-1}, qui appartient à GG puisque 1−2x′=−12x−1≠01-2x'=\dfrac{-1}{2x-1}\neq0. Ainsi (G,∗)(G,\ast) est un groupe abélien.

Exemple 2 — Un morphisme de R dans les complexes non nuls

Montrer que l'application f:(R,+)→(C∗,×)f:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{C}^*,\times), t↦eitt\mapsto e^{it}, est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau et son image. Est-elle injective ?

Corrigé

Pour tous réels ss et tt, f(s+t)=ei(s+t)=eiseit=f(s)f(t)f(s+t)=e^{i(s+t)}=e^{is}e^{it}=f(s)f(t) : ff est un morphisme de groupes.

Noyau. eit=1e^{it}=1 équivaut à cos⁡t=1\cos t=1 et sin⁡t=0\sin t=0, c'est-à-dire à t∈2πZt\in2\pi\mathbb{Z}. Donc ker⁡f=2πZ\ker f=2\pi\mathbb{Z}, qui est bien un sous-groupe de (R,+)(\mathbb{R},+).

Image. Pour tout réel tt, ∣eit∣=1|e^{it}|=1, et tout complexe de module 11 s'écrit eite^{it} : l'image de ff est U\mathbb{U}.

Le noyau n'est pas réduit à {0}\{0\} : ff n'est pas injective, et en effet f(0)=f(2π)=1f(0)=f(2\pi)=1.

Exemple 3 — Un anneau qui n'est pas un corps

Montrer que Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} n'est pas un corps, puis déterminer l'inverse de 3‾\overline{3} dans Z/7Z\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}.

Corrigé

Dans Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, 2‾×3‾=6‾=0‾\overline{2}\times\overline{3}=\overline{6}=\overline{0}, avec 2‾≠0‾\overline{2}\neq\overline{0} et 3‾≠0‾\overline{3}\neq\overline{0}. Dans un corps, c'est impossible : si ab=0ab=0 avec a≠0a\neq0, en multipliant par a−1a^{-1}, on obtient b=0b=0. Donc Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} n'est pas un corps ; plus précisément, 2‾\overline{2} n'y est pas inversible.

Dans Z/7Z\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, l'entier 33 est premier avec 77, et une relation de Bézout, 3×5−7×2=13\times5-7\times2=1, donne 3‾×5‾=1‾\overline{3}\times\overline{5}=\overline{1}. L'inverse de 3‾\overline{3} est 5‾\overline{5}.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment montrer rapidement qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe ?

Le plus souvent, en montrant que c'est un sous-groupe d'un groupe connu. Il suffit de vérifier qu'il est inclus dans ce groupe, qu'il contient le neutre, et qu'il contient le composé de x avec le symétrique de y dès qu'il contient x et y. L'associativité est alors héritée du groupe de départ et n'a pas à être démontrée de nouveau.

Quelle différence entre un anneau et un corps ?

Dans un anneau, on peut additionner, soustraire et multiplier, mais pas toujours diviser. Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul a un inverse pour la multiplication. Z est un anneau mais pas un corps, puisque 2 n'a pas d'inverse entier ; Q, R et C sont des corps, comme Z/pZ quand p est premier.

Pourquoi l'élément neutre d'une loi est-il unique ?

Si e et e' sont deux éléments neutres, le composé de e et de e' vaut e', parce que e est neutre, et vaut aussi e, parce que e' est neutre : donc e = e'. Un argument du même type, qui utilise l'associativité, montre qu'un élément a au plus un symétrique.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Structures algébriques » (Algèbre 2) ?

Oui. Sur MC² Academy, le chapitre « Structures algébriques » du module Algèbre 2 compte 4 vidéos (1 h 18), 2 résumés, 8 séries d'exercices corrigés, 2 QCM (20 questions) et 2 polys rédigés. L'inscription est gratuite.

À revoir, pour aller plus loin

Algèbre 1ApplicationsApplications en Algèbre 1 : injection, surjection, bijection, composée et réciproque, images directe et réciproque d'une partie, avec des exemples corrigés.Algèbre 1ArithmétiqueArithmétique dans Z en Algèbre 1 : division euclidienne, PGCD, Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat, avec exemples corrigés.

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