Mathématiques · Algèbre 1 · chapitre 3 sur 5

Applications

Algèbre 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Une application associe à chaque élément d'un ensemble de départ un unique élément d'un ensemble d'arrivée. Le chapitre apprend à démontrer qu'elle est injective, surjective ou bijective, à composer des applications, et à calculer l'image directe ou l'image réciproque d'une partie, deux notions qui reviennent en algèbre linéaire comme en analyse.

Sur MC² : 6 vidéos · 1 h 27 · 1 résumé de cours · 1 série d'exercices corrigés du cours

Ce que couvre le chapitre

  • Application. f:E→Ff:E\to F associe à chaque x∈Ex\in E un unique élément f(x)∈Ff(x)\in F. Deux applications sont égales si elles ont les mêmes ensembles de départ et d'arrivée et les mêmes valeurs. On utilise aussi l'identité idE\mathrm{id}_E et la restriction f∣Af_{|A} de ff à une partie A⊂EA\subset E.

  • Injection, surjection, bijection. ff est injective si ∀x,x′∈E, f(x)=f(x′)⇒x=x′\forall x,x'\in E,\ f(x)=f(x')\Rightarrow x=x', surjective si ∀y∈F, ∃x∈E, f(x)=y\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x)=y, et bijective si elle est les deux : tout y∈Fy\in F a alors exactement un antécédent.

  • Composée. Pour f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G, g∘f:E→Gg\circ f:E\to G est x↦g(f(x))x\mapsto g(f(x)) ; la composition est associative, pas commutative. Une composée d'injections est injective, une composée de surjections est surjective ; si g∘fg\circ f est injective, ff l'est, et si g∘fg\circ f est surjective, gg l'est.

  • Bijection réciproque. f:E→Ff:E\to F est bijective si et seulement s'il existe h:F→Eh:F\to E telle que h∘f=idEh\circ f=\mathrm{id}_E et f∘h=idFf\circ h=\mathrm{id}_F ; alors h=f−1h=f^{-1}. Si f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G sont bijectives, g∘fg\circ f l'est aussi et (g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.

  • Image directe. Pour A⊂EA\subset E, f(A)={f(x):x∈A}f(A)=\{f(x) : x\in A\}. Pour A,A′⊂EA,A'\subset E, on a f(A∪A′)=f(A)∪f(A′)f(A\cup A')=f(A)\cup f(A'), mais seulement f(A∩A′)⊂f(A)∩f(A′)f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A') ; l'égalité vaut pour toutes les parties si et seulement si ff est injective.

  • Image réciproque. Pour B⊂FB\subset F, f−1(B)={x∈E:f(x)∈B}f^{-1}(B)=\{x\in E : f(x)\in B\}. Elle a un sens même si ff n'est pas bijective, et elle respecte réunion, intersection et complémentaire : par exemple f−1(B∩B′)=f−1(B)∩f−1(B′)f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B').

  • Image puis image réciproque. Pour A⊂EA\subset E et B⊂FB\subset F : A⊂f−1(f(A))A\subset f^{-1}(f(A)) et f(f−1(B))⊂Bf(f^{-1}(B))\subset B. La première inclusion est une égalité pour toute partie AA si et seulement si ff est injective ; la seconde, pour toute partie BB, si et seulement si ff est surjective.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Montrer qu'une application est injective en partant de f(x)=f(x′)f(x)=f(x') pour aboutir à x=x′x=x' (partir de x=x′x=x' ne prouve rien), ou qu'elle ne l'est pas avec deux éléments distincts de même image.

  • Montrer qu'une application est surjective en résolvant f(x)=yf(x)=y d'inconnue xx pour yy quelconque, puis en vérifiant que la solution appartient à l'ensemble de départ.

  • Montrer qu'une application est bijective et expliciter sa réciproque, directement ou en exhibant hh telle que h∘f=idEh\circ f=\mathrm{id}_E et f∘h=idFf\circ h=\mathrm{id}_F.

  • Déduire l'injectivité ou la surjectivité de ff ou de gg d'une hypothèse sur g∘fg\circ f.

  • Calculer une image directe ou réciproque concrète, comme f([−1,2])f([-1,2]) pour f(x)=x2f(x)=x^2, et démontrer les propriétés générales des images par double inclusion.

L'erreur classique

Prendre le même antécédent dans deux parties

Pour montrer f(A)∩f(A′)⊂f(A∩A′)f(A)\cap f(A')\subset f(A\cap A'), on écrit : « soit y∈f(A)∩f(A′)y\in f(A)\cap f(A') ; alors y=f(x)y=f(x) avec x∈Ax\in A et x∈A′x\in A', donc x∈A∩A′x\in A\cap A' ». L'erreur est dans ce xx unique : y∈f(A)y\in f(A) fournit un antécédent x∈Ax\in A, y∈f(A′)y\in f(A') en fournit un x′∈A′x'\in A', et rien n'impose x=x′x=x'.

Contre-exemple : f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x↦x2x\mapsto x^2, avec A={−1}A=\{-1\} et A′={1}A'=\{1\}. Alors A∩A′=∅A\cap A'=\varnothing, donc f(A∩A′)=∅f(A\cap A')=\varnothing, alors que f(A)∩f(A′)={1}f(A)\cap f(A')=\{1\}.

Ce qui est vrai en général, c'est l'autre inclusion, f(A∩A′)⊂f(A)∩f(A′)f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A'). L'égalité demande une hypothèse : si ff est injective, f(x)=f(x′)f(x)=f(x') entraîne x=x′x=x', qui est alors dans A∩A′A\cap A', et l'argument devient correct.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une bijection et sa réciproque

Montrer que l'application f:R∖{2}→R∖{3}f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}\setminus\{3\} définie par f(x)=3x−1x−2f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2} est bien définie et bijective, et donner f−1f^{-1}.

Corrigé

Bonne définition. Pour x≠2x\neq2, l'égalité f(x)=3f(x)=3 équivaudrait à 3x−1=3x−63x-1=3x-6, soit −1=−6-1=-6 : elle est impossible, donc ff prend ses valeurs dans R∖{3}\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Antécédents. Soit y∈R∖{3}y\in\mathbb{R}\setminus\{3\}. Pour x≠2x\neq2 :

f(x)=y  ⟺  3x−1=y(x−2)  ⟺  (3−y) x=1−2y  ⟺  x=1−2y3−y,f(x)=y\iff3x-1=y(x-2)\iff(3-y)\,x=1-2y\iff x=\frac{1-2y}{3-y},

la dernière étape étant permise car y≠3y\neq3. Ce réel est différent de 22 : sinon 1−2y=6−2y1-2y=6-2y, soit 1=61=6.

Conclusion. Tout y∈R∖{3}y\in\mathbb{R}\setminus\{3\} a exactement un antécédent dans R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\} : ff est bijective, et f−1(y)=1−2y3−yf^{-1}(y)=\dfrac{1-2y}{3-y}.

Exemple 2 — Ce qu'une composée apprend sur ses facteurs

Soient f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G. Montrer que si g∘fg\circ f est injective, alors ff est injective. L'application gg l'est-elle forcément ?

Corrigé

Soient x,x′∈Ex,x'\in E tels que f(x)=f(x′)f(x)=f(x'). En appliquant gg, on obtient g(f(x))=g(f(x′))g(f(x))=g(f(x')), c'est-à-dire (g∘f)(x)=(g∘f)(x′)(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x'), et l'injectivité de g∘fg\circ f donne x=x′x=x'. Donc ff est injective.

En revanche, gg ne l'est pas forcément. Prenons f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x↦exx\mapsto e^x, et g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, y↦y2y\mapsto y^2. Alors (g∘f)(x)=e2x(g\circ f)(x)=e^{2x}, et g∘fg\circ f est injective car strictement croissante ; mais g(−1)=g(1)g(-1)=g(1). L'hypothèse ne porte que sur les valeurs de gg aux points de f(R)= ]0,+∞[f(\mathbb{R})=\,]0,+\infty[, où gg est bien injective.

Exemple 3 — Image directe puis image réciproque

Soit f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x↦x2x\mapsto x^2, et A=[−1,2]A=[-1,2]. Déterminer f(A)f(A), puis f−1(f(A))f^{-1}(f(A)), et comparer avec AA.

Corrigé

Image directe. Si −1≤x≤2-1\leq x\leq2, alors ∣x∣≤2|x|\leq2, donc 0≤x2≤40\leq x^2\leq4 : f(A)⊂[0,4]f(A)\subset[0,4]. Inversement, tout y∈[0,4]y\in[0,4] s'écrit y=f(y)y=f(\sqrt y) avec y∈[0,2]⊂A\sqrt y\in[0,2]\subset A. Donc f(A)=[0,4]f(A)=[0,4].

Image réciproque. f−1([0,4])={x∈R:0≤x2≤4}=[−2,2]f^{-1}([0,4])=\{x\in\mathbb{R} : 0\leq x^2\leq4\}=[-2,2].

On obtient A⊂f−1(f(A))A\subset f^{-1}(f(A)), avec une inclusion stricte : −2∈f−1(f(A))-2\in f^{-1}(f(A)) mais −2∉A-2\notin A. La cause est la non-injectivité de ff : f(−2)=f(2)f(-2)=f(2), avec 2∈A2\in A.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

L'image réciproque d'une partie demande-t-elle que l'application soit bijective ?

Non. L'image réciproque de B est l'ensemble des éléments de l'ensemble de départ dont l'image appartient à B ; elle a un sens pour toute application. Pour la fonction carré sur R, l'image réciproque de [1, 4] est la réunion de [-2, -1] et de [1, 2], bien que cette fonction n'ait pas de réciproque. Quand f est bijective, l'image réciproque de B par f coïncide avec l'image directe de B par la bijection réciproque, ce qui justifie la même notation.

Comment montrer qu'une application n'est pas injective, ou pas surjective ?

On écrit la négation de la définition. Pour l'injectivité, il suffit de deux éléments distincts qui ont la même image : pour la fonction carré sur R, 1 et -1. Pour la surjectivité, il suffit d'un élément de l'ensemble d'arrivée sans antécédent : -1 n'est le carré d'aucun réel.

Une fonction strictement monotone de R dans R est-elle bijective ?

Elle est injective, puisque deux réels distincts ont des images distinctes. Elle n'est pas forcément surjective : l'exponentielle est strictement croissante et ne prend aucune valeur négative ou nulle. Elle devient une bijection quand on remplace l'ensemble d'arrivée par son image, ici l'intervalle ]0, +∞[.

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