Mathématiques · Algèbre 2 · chapitre 3 sur 4

Fractions rationnelles

Algèbre 2, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Le chapitre vise un savoir-faire précis : la décomposition en éléments simples, qui écrit la fraction comme un polynôme plus une somme de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de polynômes irréductibles. Cette écriture sert ensuite à calculer des primitives, des sommes télescopiques et des dérivées successives.

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Ce que couvre le chapitre

  • Fractions rationnelles. F=PQF=\dfrac{P}{Q} avec P,Q∈K[X]P,Q\in\mathbb{K}[X] et Q≠0Q\neq0 ; la forme irréductible a PP et QQ premiers entre eux. Le degré deg⁡F=deg⁡P−deg⁡Q\deg F=\deg P-\deg Q ne dépend pas de l'écriture choisie.

  • Pôles. Pour F=PQF=\dfrac{P}{Q} sous forme irréductible, les pôles de FF sont les racines de QQ, avec leur multiplicité, et les racines de FF sont celles de PP.

  • Partie entière. Il existe un unique polynôme EE tel que deg⁡(F−E)<0\deg(F-E)<0 : c'est le quotient de la division euclidienne de PP par QQ. Il est nul si deg⁡P<deg⁡Q\deg P<\deg Q.

  • Décomposition sur les complexes. Dans C(X)\mathbb{C}(X), si Q=c (X−a1)m1⋯(X−ar)mrQ=c\,(X-a_1)^{m_1}\cdots(X-a_r)^{m_r}, avec c≠0c\neq0 et des aka_k distincts, FF s'écrit de façon unique comme EE plus une somme de termes λk,j(X−ak)j\dfrac{\lambda_{k,j}}{(X-a_k)^j}, pour 1≤k≤r1\leq k\leq r et 1≤j≤mk1\leq j\leq m_k : un pôle d'ordre mm fournit mm termes.

  • Décomposition sur les réels. Dans R(X)\mathbb{R}(X), les facteurs (X−a)m(X-a)^m donnent les mêmes termes ; un facteur irréductible (X2+pX+q)m(X^2+pX+q)^m, avec p2−4q<0p^2-4q<0, donne mm termes αjX+βj(X2+pX+q)j\dfrac{\alpha_jX+\beta_j}{(X^2+pX+q)^j}, 1≤j≤m1\leq j\leq m, à coefficients réels.

  • Calcul des coefficients. Pour un pôle simple aa, le coefficient s'obtient en multipliant par X−aX-a puis en évaluant en aa ; il vaut aussi P(a)Q′(a)\dfrac{P(a)}{Q'(a)}. Pour un pôle multiple, la même méthode donne le coefficient de plus haut degré ; les autres viennent de valeurs particulières, d'une limite en +∞+\infty après multiplication par xx, ou de la parité.

  • Applications : primitives, puisque chaque élément simple se primitive par un logarithme, une puissance ou une arctangente dans les cas usuels ; sommes télescopiques ; dérivées nn-ièmes.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Extraire la partie entière par division euclidienne quand deg⁡P≥deg⁡Q\deg P\geq\deg Q, avant toute décomposition.

  • Écrire la forme de la décomposition avec le bon nombre d'inconnues, dans C(X)\mathbb{C}(X) ou dans R(X)\mathbb{R}(X), avant de calculer quoi que ce soit.

  • Calculer les coefficients : multiplication par (X−a)m(X-a)^m puis évaluation en aa, limite en +∞+\infty, valeurs particulières, parité ou imparité de la fraction.

  • Traiter un facteur X2+pX+qX^2+pX+q sans racine réelle, par exemple en évaluant en l'une de ses racines complexes.

  • Utiliser la décomposition pour calculer une primitive ou une somme télescopique.

L'erreur classique

Oublier des termes pour un pôle multiple

Pour F=1X(X−1)2F=\dfrac{1}{X(X-1)^2}, on écrit parfois F=aX+b(X−1)2F=\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{(X-1)^2}, et l'on trouve a=1a=1 et b=1b=1 en multipliant par XX, puis par (X−1)2(X-1)^2, avant d'évaluer. Le résultat est faux :

1X+1(X−1)2=X2−X+1X(X−1)2≠F.\frac{1}{X}+\frac{1}{(X-1)^2}=\frac{X^2-X+1}{X(X-1)^2}\neq F.

Aucun choix de aa et bb ne convient : il faudrait a(X−1)2+bX=1a(X-1)^2+bX=1, ce qui impose a=0a=0 (coefficient de X2X^2) et a=1a=1 (coefficient constant). Un pôle d'ordre mm demande mm termes, un pour chaque puissance de X−1X-1 de 11 à mm. La bonne forme est

F=aX+bX−1+c(X−1)2,F=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{(X-1)^2},

avec a=1a=1 et c=1c=1 comme plus haut ; puis xF(x)→0xF(x)\to0 quand x→+∞x\to+\infty donne a+b=0a+b=0, donc b=−1b=-1. Ainsi F=1X−1X−1+1(X−1)2F=\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{X-1}+\dfrac{1}{(X-1)^2}.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une partie entière à ne pas oublier

Décomposer en éléments simples F=X3+2X2−1F=\dfrac{X^3+2}{X^2-1}, puis en donner une primitive sur ]1,+∞[]1,+\infty[.

Corrigé

Le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur : on commence par la division euclidienne, X3+2=X(X2−1)+X+2X^3+2=X(X^2-1)+X+2, donc

F=X+X+2(X−1)(X+1).F=X+\frac{X+2}{(X-1)(X+1)}.

Les pôles 11 et −1-1 sont simples. En multipliant X+2(X−1)(X+1)\dfrac{X+2}{(X-1)(X+1)} par X−1X-1 et en évaluant en 11, on obtient 32\dfrac{3}{2} ; en multipliant par X+1X+1 et en évaluant en −1-1, on obtient 1−2=−12\dfrac{1}{-2}=-\dfrac12. Ainsi

F=X+32(X−1)−12(X+1).F=X+\frac{3}{2(X-1)}-\frac{1}{2(X+1)}.

Sur ]1,+∞[]1,+\infty[, une primitive est x↦x22+32ln⁡(x−1)−12ln⁡(x+1)x\mapsto\dfrac{x^2}{2}+\dfrac32\ln(x-1)-\dfrac12\ln(x+1).

Exemple 2 — Un facteur de degré 2 sans racine réelle

Décomposer en éléments simples dans R(X)\mathbb{R}(X) la fraction F=X+3(X−1)(X2+1)F=\dfrac{X+3}{(X-1)(X^2+1)}.

Corrigé

La partie entière est nulle, et la forme cherchée est

F=aX−1+bX+cX2+1,a,b,c∈R.F=\frac{a}{X-1}+\frac{bX+c}{X^2+1},\qquad a,b,c\in\mathbb{R}.

En multipliant par X−1X-1 et en évaluant en 11 : a=1+31+1=2a=\dfrac{1+3}{1+1}=2. En multipliant par X2+1X^2+1 et en évaluant en ii, racine de X2+1X^2+1 :

bi+c=i+3i−1=(3+i)(−1−i)(−1)2+12=−2−4i2=−1−2i.bi+c=\frac{i+3}{i-1}=\frac{(3+i)(-1-i)}{(-1)^2+1^2}=\frac{-2-4i}{2}=-1-2i.

Comme bb et cc sont réels, b=−2b=-2 et c=−1c=-1. Donc F=2X−1−2X+1X2+1F=\dfrac{2}{X-1}-\dfrac{2X+1}{X^2+1}, ce que l'on vérifie en réduisant au même dénominateur : 2(X2+1)−(2X+1)(X−1)=X+32(X^2+1)-(2X+1)(X-1)=X+3.

Exemple 3 — Une somme télescopique

Calculer Sn=∑k=1n1k(k+2)S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)} pour n≥1n\geq1, puis sa limite.

Corrigé

La décomposition 1X(X+2)=12(1X−1X+2)\dfrac{1}{X(X+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{X+2}\right) s'obtient en multipliant par XX, puis par X+2X+2, et en évaluant en 00, puis en −2-2. Donc

Sn=12(∑k=1n1k−∑j=3n+21j)=12(1+12−1n+1−1n+2),S_n=\frac12\left(\sum_{k=1}^{n}\frac1k-\sum_{j=3}^{n+2}\frac1j\right)=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right),

après le changement d'indice j=k+2j=k+2 dans la seconde somme : les termes d'indice compris entre 33 et nn se compensent. Ainsi Sn=34−2n+32(n+1)(n+2)S_n=\dfrac34-\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}, et Sn→34S_n\to\dfrac34.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi commencer par la partie entière ?

Une somme d'éléments simples a toujours un degré strictement négatif. Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, la fraction n'est pas de cette forme : il faut d'abord retirer la partie entière, quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Sans cette étape, on obtient des coefficients plausibles et une égalité fausse.

Quelle différence entre la décomposition dans C(X) et dans R(X) ?

Dans C(X), le dénominateur se factorise entièrement en facteurs de degré 1, et chaque élément simple a un numérateur constant. Dans R(X), il peut rester des facteurs de degré 2 sans racine réelle, comme X² + 1 ; les éléments simples correspondants ont un numérateur de la forme aX + b. On passe de la première à la seconde en regroupant les termes de deux pôles conjugués.

À quoi sert la décomposition en éléments simples ?

D'abord au calcul de primitives : un élément simple dont le dénominateur est une puissance de X - a se primitive par un logarithme ou une puissance, et un élément de la forme (aX + b)/(X² + pX + q) par un logarithme et une arctangente. Elle sert aussi à calculer des sommes télescopiques et les dérivées successives d'une fraction.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Fractions rationnelles » (Algèbre 2) ?

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À revoir, pour aller plus loin

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