Mathématiques · Algèbre 2 · chapitre 2 sur 4

Polynômes

Algèbre 2, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Un polynôme est défini par la suite de ses coefficients, nulle à partir d'un certain rang, et se manipule comme une expression en X. Le chapitre reprend pour les polynômes le schéma de l'arithmétique des entiers : division euclidienne, divisibilité, racines, puis factorisation en polynômes irréductibles. Le résultat central est le théorème de d'Alembert-Gauss : dans C[X], tout polynôme non constant est un produit de polynômes de degré 1.

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Ce que couvre le chapitre

  • Degré. Dans K[X]\mathbb{K}[X], avec K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C}, on additionne, on multiplie et l'on compose les polynômes. On a deg⁡(PQ)=deg⁡P+deg⁡Q\deg(PQ)=\deg P+\deg Q et deg⁡(P+Q)≤max⁡(deg⁡P,deg⁡Q)\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q), avec la convention deg⁡0=−∞\deg0=-\infty ; l'inégalité peut être stricte quand les termes dominants se compensent.

  • Division euclidienne. Pour A,B∈K[X]A,B\in\mathbb{K}[X] avec B≠0B\neq0, il existe un unique couple (Q,R)(Q,R) de polynômes tel que A=BQ+RA=BQ+R et deg⁡R<deg⁡B\deg R<\deg B. Comme dans Z\mathbb{Z}, elle conduit au PGCD, à l'algorithme d'Euclide et aux théorèmes de Bézout et de Gauss.

  • Racines. a∈Ka\in\mathbb{K} est racine de PP si P(a)=0P(a)=0, ce qui équivaut à (X−a)∣P(X-a)\mid P. Un polynôme non nul de degré nn a au plus nn racines ; un polynôme de degré au plus nn qui en a n+1n+1 distinctes est nul.

  • Multiplicité. aa est racine de multiplicité m≥1m\geq1 si (X−a)m(X-a)^m divise PP et (X−a)m+1(X-a)^{m+1} ne le divise pas ; de façon équivalente, P(a)=P′(a)=⋯=P(m−1)(a)=0P(a)=P'(a)=\dots=P^{(m-1)}(a)=0 et P(m)(a)≠0P^{(m)}(a)\neq0.

  • Coefficients et racines. Si P=anXn+⋯+a1X+a0P=a_nX^n+\dots+a_1X+a_0, avec an≠0a_n\neq0 et n≥2n\geq2, s'écrit an(X−x1)⋯(X−xn)a_n(X-x_1)\cdots(X-x_n), alors la somme des racines vaut −an−1an-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}, la somme de leurs produits deux à deux an−2an\dfrac{a_{n-2}}{a_n}, et leur produit (−1)na0an(-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}.

  • Factorisation sur les complexes. Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant de C[X]\mathbb{C}[X] a au moins une racine complexe. Il est donc scindé, produit de son coefficient dominant et de facteurs X−aX-a ; les irréductibles de C[X]\mathbb{C}[X] sont les polynômes de degré 11.

  • Factorisation sur les réels. Les racines non réelles d'un polynôme de R[X]\mathbb{R}[X] vont par paires conjuguées zz, z‾\overline{z}, de même multiplicité, et (X−z)(X−z‾)=X2−2Re⁡(z) X+∣z∣2(X-z)(X-\overline{z})=X^2-2\operatorname{Re}(z)\,X+|z|^2. Les irréductibles de R[X]\mathbb{R}[X] sont les polynômes de degré 11 et ceux de degré 22 de discriminant strictement négatif.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Poser une division euclidienne, ou trouver le reste de la division de PP par (X−a)(X−b)(X-a)(X-b), avec a≠ba\neq b, sans la poser : le reste αX+β\alpha X+\beta se lit sur P(a)P(a) et P(b)P(b).

  • Déterminer la multiplicité d'une racine par les dérivées successives, ou des paramètres pour qu'une racine soit multiple.

  • Factoriser un polynôme dans C[X]\mathbb{C}[X], puis dans R[X]\mathbb{R}[X] en regroupant les racines conjuguées ; factoriser Xn−1X^n-1 grâce aux racines nn-ièmes de l'unité.

  • Utiliser les relations entre coefficients et racines pour calculer une somme ou un produit de racines sans les connaître.

  • Montrer qu'un polynôme est nul, ou que deux polynômes sont égaux, parce qu'ils coïncident en trop de points.

L'erreur classique

Croire qu'un polynôme sans racine réelle est irréductible dans R[X]

On lit : « X4+1X^4+1 n'a pas de racine réelle, donc il est irréductible dans R[X]\mathbb{R}[X] ». C'est faux :

X4+1=(X2+1)2−2X2=(X2−2 X+1)(X2+2 X+1).X^4+1=(X^2+1)^2-2X^2=\left(X^2-\sqrt2\,X+1\right)\left(X^2+\sqrt2\,X+1\right).

L'absence de racine réelle interdit seulement les facteurs de degré 11 ; elle n'empêche pas un produit de deux facteurs de degré 22. Le critère « irréductible si et seulement si sans racine » ne vaut qu'en degré 22 ou 33, parce qu'une factorisation non triviale d'un tel polynôme contient forcément un facteur de degré 11.

La méthode sûre passe par C\mathbb{C} : les racines de X4+1X^4+1 sont eiπ/4e^{i\pi/4}, e3iπ/4e^{3i\pi/4} et leurs conjuguées. On regroupe chaque racine avec sa conjuguée, par exemple (X−eiπ/4)(X−e−iπ/4)=X2−2cos⁡π4 X+1=X2−2 X+1(X-e^{i\pi/4})(X-e^{-i\pi/4})=X^2-2\cos\frac{\pi}{4}\,X+1=X^2-\sqrt2\,X+1 : chaque facteur obtenu est de degré 22, de discriminant −2<0-2<0, donc irréductible.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Un reste sans poser la division

Soit n∈Nn\in\mathbb{N}. Déterminer le reste de la division euclidienne de XnX^n par (X−1)(X+2)(X-1)(X+2).

Corrigé

Le diviseur est de degré 22, donc le reste est de la forme R=aX+bR=aX+b :

Xn=(X−1)(X+2) Q+aX+b.X^n=(X-1)(X+2)\,Q+aX+b.

En évaluant en 11 puis en −2-2, les racines du diviseur, on obtient 1=a+b1=a+b et (−2)n=−2a+b(-2)^n=-2a+b. Par soustraction, 3a=1−(−2)n3a=1-(-2)^n, d'où

a=1−(−2)n3,b=1−a=2+(−2)n3.a=\frac{1-(-2)^n}{3},\qquad b=1-a=\frac{2+(-2)^n}{3}.

Pour n=2n=2, on trouve R=−X+2R=-X+2, ce que confirme X2=(X−1)(X+2)+(−X+2)X^2=(X-1)(X+2)+(-X+2).

Exemple 2 — Une racine double imposée

Déterminer les réels aa et bb tels que 22 soit racine au moins double de P=X4+aX+bP=X^4+aX+b. Factoriser alors PP dans R[X]\mathbb{R}[X] et dans C[X]\mathbb{C}[X].

Corrigé

Le réel 22 est racine au moins double si et seulement si P(2)=0P(2)=0 et P′(2)=0P'(2)=0. Comme P′=4X3+aP'=4X^3+a :

P′(2)=32+a=0,P(2)=16+2a+b=0,P'(2)=32+a=0,\qquad P(2)=16+2a+b=0,

donc a=−32a=-32 et b=48b=48. Alors P′′=12X2P''=12X^2 et P′′(2)=48≠0P''(2)=48\neq0 : la racine 22 est exactement double.

On divise P=X4−32X+48P=X^4-32X+48 par (X−2)2=X2−4X+4(X-2)^2=X^2-4X+4 ; en identifiant les coefficients de (X2−4X+4)(X2+cX+d)(X^2-4X+4)(X^2+cX+d), on trouve c=4c=4 et d=12d=12 :

P=(X−2)2(X2+4X+12).P=(X-2)^2\left(X^2+4X+12\right).

Le facteur X2+4X+12X^2+4X+12 a pour discriminant 16−48=−32<016-48=-32<0 : il est irréductible dans R[X]\mathbb{R}[X], et l'écriture ci-dessus est la factorisation dans R[X]\mathbb{R}[X]. Ses racines complexes sont −2±2i2-2\pm2i\sqrt2, d'où, dans C[X]\mathbb{C}[X], P=(X−2)2(X+2−2i2)(X+2+2i2)P=(X-2)^2\left(X+2-2i\sqrt2\right)\left(X+2+2i\sqrt2\right).

Exemple 3 — Une somme de carrés de racines

Soient x1x_1, x2x_2, x3x_3 les racines complexes, comptées avec multiplicité, de P=X3−2X2+3X−5P=X^3-2X^2+3X-5. Calculer x12+x22+x32x_1^2+x_2^2+x_3^2, et en déduire que PP a une seule racine réelle.

Corrigé

Les relations entre coefficients et racines donnent

x1+x2+x3=2,x1x2+x1x3+x2x3=3.x_1+x_2+x_3=2,\qquad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3.

Or (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x1x3+x2x3)(x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), donc

x12+x22+x32=22−2×3=−2.x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\times3=-2.

Les racines non réelles d'un polynôme réel vont par paires conjuguées : parmi les trois racines, il y en a 00 ou 22 qui ne sont pas réelles. Il ne peut pas y en avoir 00, car une somme de carrés de réels serait positive ou nulle. Il y en a donc deux, zz et z‾\overline{z}, et la troisième racine est réelle : PP a exactement une racine réelle.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi le degré du polynôme nul vaut-il moins l'infini ?

C'est une convention qui garde vraies les règles de calcul. Avec elle, le degré d'un produit est toujours la somme des degrés, même quand un facteur est nul, et la condition « degré du reste strictement inférieur au degré du diviseur » de la division euclidienne inclut le cas d'un reste nul.

Tout polynôme a-t-il une racine ?

Dans C, oui pour tout polynôme non constant : c'est le théorème de d'Alembert-Gauss. Dans R, non : X² + 1 n'a pas de racine réelle. Mais un polynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine réelle, par le théorème des valeurs intermédiaires, puisqu'il tend vers plus l'infini d'un côté et vers moins l'infini de l'autre.

Quel lien entre les racines d'un polynôme et sa factorisation ?

Dire que a est racine de P revient à dire que X - a divise P. Une racine de multiplicité m fournit le facteur (X - a) puissance m, et les facteurs associés à des racines distinctes se multiplient : leur produit divise encore P. Dans C, connaître toutes les racines avec leur multiplicité et le coefficient dominant, c'est donc connaître la factorisation complète.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Polynômes » (Algèbre 2) ?

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