Mathématiques · Algèbre 1 · chapitre 4 sur 5

Relations binaires

Algèbre 1, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Une relation binaire compare deux éléments d'un même ensemble. Deux familles comptent : les relations d'équivalence, qui regroupent les éléments en classes disjointes, et les relations d'ordre, qui donnent un sens aux mots majorant et plus grand élément. Le chapitre prépare les congruences de l'arithmétique et l'ordre sur les réels utilisé en analyse.

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Ce que couvre le chapitre

  • Relation binaire. Une relation R\mathcal{R} sur un ensemble EE est une propriété des couples (x,y)∈E2(x,y)\in E^2 ; on note x R yx\,\mathcal{R}\,y quand elle est vraie. Formellement, on l'identifie à son graphe, la partie de E×EE\times E formée des couples en relation.

  • Propriétés. R\mathcal{R} est réflexive si ∀x∈E, x R x\forall x\in E,\ x\,\mathcal{R}\,x ; symétrique si x R y⇒y R xx\,\mathcal{R}\,y\Rightarrow y\,\mathcal{R}\,x ; antisymétrique si (x R y et y R x)⇒x=y(x\,\mathcal{R}\,y\ \text{et}\ y\,\mathcal{R}\,x)\Rightarrow x=y ; transitive si (x R y et y R z)⇒x R z(x\,\mathcal{R}\,y\ \text{et}\ y\,\mathcal{R}\,z)\Rightarrow x\,\mathcal{R}\,z, pour tous x,y,z∈Ex,y,z\in E.

  • Relation d'équivalence : réflexive, symétrique et transitive. La classe de xx est x‾={y∈E:y R x}\overline{x}=\{y\in E : y\,\mathcal{R}\,x\} ; deux classes sont égales ou disjointes, et l'ensemble des classes forme une partition de EE.

  • Ensemble quotient. E/RE/\mathcal{R} est l'ensemble des classes. Pour la congruence modulo n≥1n\geq1 sur Z\mathbb{Z}, il y a exactement nn classes, 0‾,1‾,…,n−1‾\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{n-1}, et l'ensemble quotient se note Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. Toute application ff définie sur EE donne une relation d'équivalence par x R y  ⟺  f(x)=f(y)x\,\mathcal{R}\,y\iff f(x)=f(y).

  • Relation d'ordre : réflexive, antisymétrique et transitive, souvent notée ⪯\preceq. L'ordre est total si deux éléments sont toujours comparables, partiel sinon : l'ordre usuel sur R\mathbb{R} est total ; la divisibilité sur N∗\mathbb{N}^*, et l'inclusion sur P(E)\mathcal{P}(E) dès que EE a deux éléments, sont partielles.

  • Majorant, plus grand élément, borne supérieure. Pour A⊂EA\subset E, M∈EM\in E majore AA si ∀a∈A, a⪯M\forall a\in A,\ a\preceq M. Un plus grand élément de AA est un majorant qui appartient à AA ; il est unique s'il existe. La borne supérieure est le plus petit des majorants, quand il existe.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Montrer qu'une relation est une relation d'équivalence en vérifiant les trois propriétés, puis décrire ses classes et un système de représentants.

  • Montrer qu'une relation est une relation d'ordre, et dire si cet ordre est total ou partiel en exhibant, le cas échéant, deux éléments non comparables.

  • Déterminer les majorants et les minorants d'une partie, et dire si elle a un plus grand élément, un plus petit élément, une borne supérieure.

  • Reconnaître une relation de la forme f(x)=f(y)f(x)=f(y), qui est une relation d'équivalence sans calcul, de classes les f−1({t})f^{-1}(\{t\}) pour t∈f(E)t\in f(E).

  • Prouver qu'une relation n'a pas une propriété grâce à un contre-exemple explicite.

L'erreur classique

Prendre antisymétrique pour le contraire de symétrique

« La relation n'est pas symétrique, donc elle est antisymétrique » : ce raisonnement est faux. Sur Z\mathbb{Z}, la relation « xx divise yy » n'est pas symétrique, car 2∣42\mid4 et 4∤24\nmid2 ; elle n'est pas antisymétrique non plus, car 2∣−22\mid-2 et −2∣2-2\mid2 alors que 2≠−22\neq-2. À l'inverse, l'égalité est à la fois symétrique et antisymétrique : les deux propriétés ne s'excluent pas.

L'antisymétrie se démontre directement : on suppose x R yx\,\mathcal{R}\,y et y R xy\,\mathcal{R}\,x, et l'on prouve x=yx=y. Pour la divisibilité sur N∗\mathbb{N}^* : si a∣ba\mid b et b∣ab\mid a, alors a≤ba\leq b et b≤ab\leq a, puisqu'un diviseur positif d'un entier m≥1m\geq1 est au plus égal à mm ; donc a=ba=b. C'est la restriction aux entiers positifs qui rend la divisibilité antisymétrique : c'est une relation d'ordre sur N∗\mathbb{N}^*, pas sur Z\mathbb{Z}.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Une relation qui dépend de l'ensemble

Sur R∗\mathbb{R}^*, on pose x R y  ⟺  xy>0x\,\mathcal{R}\,y\iff xy>0. Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence et décrire ses classes. Est-ce encore vrai sur R\mathbb{R} ?

Corrigé

Réflexivité. Pour x≠0x\neq0, x⋅x=x2>0x\cdot x=x^2>0. Symétrie. xy=yxxy=yx. Transitivité. Si xy>0xy>0 et yz>0yz>0, alors (xy)(yz)=xz y2>0(xy)(yz)=xz\,y^2>0, et comme y2>0y^2>0, on obtient xz>0xz>0.

La classe de xx est formée des réels non nuls de même signe que xx : il y a deux classes, ]−∞,0[]-\infty,0[ et ]0,+∞[]0,+\infty[.

Sur R\mathbb{R}, la réflexivité est en défaut : 0⋅0=00\cdot0=0 n'est pas strictement positif, donc 00 n'est pas en relation avec lui-même, et R\mathcal{R} n'est plus une relation d'équivalence.

Exemple 2 — Les classes d'une relation définie par une égalité

Sur R\mathbb{R}, on pose x R y  ⟺  x2−y2=3(x−y)x\,\mathcal{R}\,y\iff x^2-y^2=3(x-y). Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence et déterminer la classe de chaque réel.

Corrigé

La relation s'écrit x2−3x=y2−3yx^2-3x=y^2-3y, c'est-à-dire g(x)=g(y)g(x)=g(y) avec g(t)=t2−3tg(t)=t^2-3t. Une relation de cette forme est réflexive, symétrique et transitive, puisque l'égalité l'est : c'est une relation d'équivalence.

Pour la classe de xx, on factorise :

y2−3y−(x2−3x)=(y−x)(y+x)−3(y−x)=(y−x)(y+x−3).y^2-3y-(x^2-3x)=(y-x)(y+x)-3(y-x)=(y-x)(y+x-3).

Donc y R xy\,\mathcal{R}\,x si et seulement si y=xy=x ou y=3−xy=3-x, et x‾={x,3−x}\overline{x}=\{x,3-x\}. Cette classe a deux éléments, sauf pour x=32x=\dfrac32, où x‾={32}\overline{x}=\left\{\dfrac32\right\}. Chaque classe contient exactement un réel de [32,+∞[\left[\dfrac32,+\infty\right[ : cet intervalle est un système de représentants.

Exemple 3 — Un ordre partiel sur le plan

Sur R2\mathbb{R}^2, on pose (x,y)⪯(x′,y′)  ⟺  (x≤x′ et y≤y′)(x,y)\preceq(x',y')\iff(x\leq x'\ \text{et}\ y\leq y'). Montrer que c'est une relation d'ordre, qu'elle n'est pas totale, puis étudier la partie A={(0,1),(1,0)}A=\{(0,1),(1,0)\} : majorants, plus grand élément, borne supérieure.

Corrigé

Ordre. Chaque propriété se lit composante par composante sur l'ordre de R\mathbb{R} : x≤xx\leq x et y≤yy\leq y (réflexivité) ; si x≤x′≤xx\leq x'\leq x et y≤y′≤yy\leq y'\leq y, alors x=x′x=x' et y=y′y=y' (antisymétrie) ; la transitivité de ≤\leq donne celle de ⪯\preceq.

Ordre partiel. On n'a ni (0,1)⪯(1,0)(0,1)\preceq(1,0), puisque 1>01>0 pour la seconde composante, ni (1,0)⪯(0,1)(1,0)\preceq(0,1), puisque 1>01>0 pour la première : ces deux éléments ne sont pas comparables.

Étude de la partie. Un couple (a,b)(a,b) majore AA si et seulement si 0≤a0\leq a, 1≤b1\leq b, 1≤a1\leq a et 0≤b0\leq b, c'est-à-dire a≥1a\geq1 et b≥1b\geq1. Aucun des deux éléments de AA ne majore l'autre : AA n'a pas de plus grand élément. Mais l'ensemble des majorants a un plus petit élément, (1,1)(1,1) : c'est la borne supérieure de AA, qui n'appartient pas à AA.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Pourquoi les classes d'équivalence forment-elles une partition ?

Par réflexivité, chaque élément appartient à sa propre classe : aucune classe n'est vide, et leur réunion est l'ensemble tout entier. Si deux classes ont un élément commun, la symétrie et la transitivité montrent que tout élément de l'une est en relation avec tout élément de l'autre, et les deux classes sont égales. Deux classes distinctes sont donc disjointes.

Qu'est-ce qu'un ordre partiel ?

C'est une relation d'ordre pour laquelle deux éléments ne sont pas toujours comparables. L'inclusion entre les parties de {1, 2} en est un exemple : ni {1} n'est inclus dans {2}, ni {2} dans {1}. L'ordre usuel sur R est au contraire total : pour deux réels x et y, on a toujours x inférieur ou égal à y, ou y inférieur ou égal à x.

Une partie majorée a-t-elle toujours un plus grand élément ?

Non. Dans R, l'intervalle [0, 1[ est majoré par 1 mais n'a pas de plus grand élément : pour tout x de [0, 1[, le réel (x + 1)/2 est encore dans [0, 1[ et strictement plus grand que x. Le nombre 1 est la borne supérieure de l'intervalle, le plus petit de ses majorants, sans lui appartenir.

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À revoir, pour aller plus loin

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