Physique · Thermodynamique · chapitre 1 sur 5

Notions de base de la thermodynamique

Thermodynamique, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Avant d'énoncer le moindre principe, la thermodynamique a besoin d'un langage : un système délimité, des variables qui décrivent son état, une équation d'état qui les relie. Ce chapitre installe ce vocabulaire et l'outil mathématique qui l'accompagne, la différentielle d'une fonction de plusieurs variables, puis l'applique aux coefficients thermoélastiques et à la pression dans un fluide au repos.

Sur MC² : 15 vidéos · 3 h 43 · 2 résumés de cours · 2 séries d'exercices corrigés du cours

Ce que couvre le chapitre

  • Système. Un système est ouvert, fermé ou isolé selon qu'il échange avec l'extérieur de la matière et de l'énergie, de l'énergie seulement, ou rien. Ses variables d'état sont extensives, comme le volume, la masse ou la quantité de matière, ou intensives, comme la pression et la température.

  • Équilibre et transformations. À l'équilibre, les variables d'état sont définies et constantes. Une transformation quasi statique est une suite d'états d'équilibre ; elle est réversible si, de plus, aucun phénomène dissipatif n'intervient, de sorte qu'on puisse la parcourir en sens inverse par les mêmes états. Une transformation isotherme, isobare ou isochore garde TT, pp ou VV constant ; une adiabatique se fait sans échange de chaleur.

  • Équation d'état. Une relation f(p,V,T)=0f(p,V,T)=0 entre les variables d'un fluide à l'équilibre. Pour un gaz parfait, pV=nRTpV=nRT avec R≈8,314 J⋅mol−1⋅K−1R\approx8{,}314\,\mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, pp en pascals, VV en mètres cubes et TT en kelvins : T=θ+273,15T=\theta+273{,}15 si θ\theta est en degrés Celsius.

  • Différentielle. Pour une fonction f(x,y)f(x,y), df=(∂f∂x)ydx+(∂f∂y)xdy\mathrm{d}f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)_y\mathrm{d}x+\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)_x\mathrm{d}y. Une forme A dx+B dyA\,\mathrm{d}x+B\,\mathrm{d}y est une différentielle totale exacte si et seulement si ∂A∂y=∂B∂x\dfrac{\partial A}{\partial y}=\dfrac{\partial B}{\partial x}, sur un domaine sans trou ; son intégrale ne dépend alors que des points de départ et d'arrivée.

  • Relations entre dérivées partielles. Pour trois variables liées par une équation d'état, (∂x∂y)z=1(∂y/∂x)z\left(\dfrac{\partial x}{\partial y}\right)_z=\dfrac{1}{(\partial y/\partial x)_z} et (∂x∂y)z(∂y∂z)x(∂z∂x)y=−1\left(\dfrac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\dfrac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)_y=-1 ; attention au signe moins de cette relation cyclique.

  • Coefficients thermoélastiques. Dilatation isobare α=1V(∂V∂T)p\alpha=\dfrac1V\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p, compression isochore β=1p(∂p∂T)V\beta=\dfrac1p\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V, compressibilité isotherme χT=−1V(∂V∂p)T\chi_T=-\dfrac1V\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T ; la relation cyclique donne α=p β χT\alpha=p\,\beta\,\chi_T. Pour un gaz parfait, α=β=1T\alpha=\beta=\dfrac1T et χT=1p\chi_T=\dfrac1p.

  • Pression et statique des fluides. La pression est une force par unité de surface, en pascals, avec 1 bar=105 Pa1\,\mathrm{bar}=10^5\,\mathrm{Pa}. Dans un fluide au repos, dpdz=−ρg\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g pour un axe OzOz vertical ascendant ; pour un liquide incompressible, p(z)=p(z0)−ρg (z−z0)p(z)=p(z_0)-\rho g\,(z-z_0) : la pression augmente avec la profondeur.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Convertir les données avant tout calcul, températures en kelvins, pressions en pascals, volumes en mètres cubes, puis appliquer pV=nRTpV=nRT.

  • Calculer α\alpha, β\beta et χT\chi_T à partir d'une équation d'état, et vérifier la relation α=p β χT\alpha=p\,\beta\,\chi_T.

  • Retrouver une équation d'état à partir de α\alpha et χT\chi_T en intégrant dVV=α dT−χT dp\dfrac{\mathrm{d}V}{V}=\alpha\,\mathrm{d}T-\chi_T\,\mathrm{d}p.

  • Tester si une forme différentielle est exacte par l'égalité des dérivées croisées et, si elle l'est, trouver la fonction dont elle est la différentielle.

  • Calculer une différence de pression dans un liquide au repos : fond d'un récipient, tube en U, manomètre.

  • Passer d'une échelle de température à une autre, les deux étant reliées par une relation affine fixée par deux points de référence.

L'erreur classique

Utiliser des degrés Celsius ou des litres dans pV = nRT

Pour n=0,5 moln=0{,}5\,\mathrm{mol} de gaz parfait à θ=27 ∘C\theta=27\,^\circ\mathrm{C} dans V=5 LV=5\,\mathrm{L}, on écrit p=nRθVp=\dfrac{nR\theta}{V} avec θ=27\theta=27 et V=5V=5. Deux erreurs se cumulent. La loi fait intervenir la température absolue : en degrés Celsius, un gaz à 0 ∘C0\,^\circ\mathrm{C} aurait une pression nulle. Et RR est donnée en unités SI : le volume doit être en mètres cubes.

La bonne rédaction convertit d'abord, T=300,15 KT=300{,}15\,\mathrm{K} et V=5×10−3 m3V=5\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}, puis

p=nRTV=0,5×8,314×300,155×10−3≈2,50×105 Pa,p=\frac{nRT}{V}=\frac{0{,}5\times8{,}314\times300{,}15}{5\times10^{-3}}\approx2{,}50\times10^{5}\,\mathrm{Pa},

soit environ 2,5 bar2{,}5\,\mathrm{bar}. Seules les différences de température ont la même valeur dans les deux échelles : ΔT=Δθ\Delta T=\Delta\theta.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Chauffer un liquide dans une enceinte rigide

Un liquide remplit entièrement une enceinte rigide et fermée. Ses coefficients valent α=2,0×10−4 K−1\alpha=2{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{K^{-1}} et χT=5,0×10−10 Pa−1\chi_T=5{,}0\times10^{-10}\,\mathrm{Pa^{-1}}, supposés constants. De combien sa pression augmente-t-elle quand on le chauffe de 5 K5\,\mathrm{K} ?

Corrigé

On différencie le volume, vu comme une fonction de TT et de pp :

dVV=α dT−χT dp.\frac{\mathrm{d}V}{V}=\alpha\,\mathrm{d}T-\chi_T\,\mathrm{d}p.

L'enceinte est rigide et le liquide la remplit : dV=0\mathrm{d}V=0, donc dp=αχT dT\mathrm{d}p=\dfrac{\alpha}{\chi_T}\,\mathrm{d}T. Avec des coefficients constants :

Δp=αχT ΔT=2,0×10−45,0×10−10×5=2,0×106 Pa,\Delta p=\frac{\alpha}{\chi_T}\,\Delta T=\frac{2{,}0\times10^{-4}}{5{,}0\times10^{-10}}\times5=2{,}0\times10^{6}\,\mathrm{Pa},

soit 20 bar20\,\mathrm{bar} pour quelques kelvins : un liquide est très peu compressible, et l'empêcher de se dilater demande une forte pression.

Exemple 2 — Une différentielle totale exacte : le volume d'un gaz parfait

Pour une mole de gaz parfait, on considère la forme ω=Rp dT−RTp2 dp\omega=\dfrac{R}{p}\,\mathrm{d}T-\dfrac{RT}{p^2}\,\mathrm{d}p. Montrer qu'elle est exacte, trouver la fonction V(T,p)V(T,p) dont elle est la différentielle, et calculer sa variation entre les états (300 K, 1,0×105 Pa)(300\,\mathrm{K},\ 1{,}0\times10^5\,\mathrm{Pa}) et (600 K, 1,5×105 Pa)(600\,\mathrm{K},\ 1{,}5\times10^5\,\mathrm{Pa}).

Corrigé

Dérivées croisées. Avec A=RpA=\dfrac{R}{p} et B=−RTp2B=-\dfrac{RT}{p^2}, on a (∂A∂p)T=−Rp2=(∂B∂T)p\left(\dfrac{\partial A}{\partial p}\right)_T=-\dfrac{R}{p^2}=\left(\dfrac{\partial B}{\partial T}\right)_p sur le domaine T>0T>0, p>0p>0 : la forme est exacte.

Fonction. ∂V∂T=Rp\dfrac{\partial V}{\partial T}=\dfrac{R}{p} donne V=RTp+g(p)V=\dfrac{RT}{p}+g(p), puis ∂V∂p=B\dfrac{\partial V}{\partial p}=B impose g′=0g'=0 : on retrouve V=RTpV=\dfrac{RT}{p}, la constante étant nulle pour un gaz parfait.

Variation. Elle ne dépend que des états extrêmes :

ΔV=R(6001,5×105−3001,0×105)=8,314×10−3 m3≈8,3 L.\Delta V=R\left(\frac{600}{1{,}5\times10^5}-\frac{300}{1{,}0\times10^5}\right)=8{,}314\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}\approx8{,}3\,\mathrm{L}.

En revanche, −p dV=−R dT+RTp dp-p\,\mathrm{d}V=-R\,\mathrm{d}T+\dfrac{RT}{p}\,\mathrm{d}p n'est pas exacte, car ∂(−R)∂p=0≠Rp\dfrac{\partial(-R)}{\partial p}=0\neq\dfrac{R}{p} : le travail dépend du chemin suivi.

Exemple 3 — Un tube en U avec deux liquides

Un tube en U, ouvert aux deux bouts, contient de l'eau (ρe=1000 kg⋅m−3\rho_e=1000\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}). On verse dans la branche de droite une huile non miscible (ρh=850 kg⋅m−3\rho_h=850\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}), qui forme au-dessus de l'eau une colonne de hauteur hh=12 cmh_h=12\,\mathrm{cm}. De combien la surface libre de l'eau, à gauche, dépasse-t-elle le niveau de la surface de séparation huile-eau ?

Corrigé

On prend le plan horizontal qui passe par la surface de séparation, dans la branche de droite. Au même niveau, dans la branche de gauche, on est dans l'eau, reliée continûment à l'eau de droite : deux points d'un même fluide au repos, à la même altitude, ont la même pression. Avec la pression atmosphérique p0p_0 aux deux surfaces libres :

p0+ρe g he=p0+ρh g hh⟹he=ρhρe hh=0,85×12=10,2 cm.p_0+\rho_e\,g\,h_e=p_0+\rho_h\,g\,h_h\quad\Longrightarrow\quad h_e=\frac{\rho_h}{\rho_e}\,h_h=0{,}85\times12=10{,}2\,\mathrm{cm}.

La surface de l'huile se trouve donc 1,8 cm1{,}8\,\mathrm{cm} plus haut que celle de l'eau : à pression égale, il faut une colonne plus haute du liquide moins dense.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle différence entre une variable intensive et une variable extensive ?

Une variable extensive est proportionnelle à la quantité de matière : si l'on réunit deux systèmes identiques, elle double, comme le volume, la masse ou l'énergie interne. Une variable intensive, comme la pression ou la température, garde la même valeur. Le quotient de deux grandeurs extensives, comme le volume massique, est intensif.

Pourquoi faut-il exprimer la température en kelvins ?

Parce que les lois de la thermodynamique font intervenir la température absolue, dont le zéro n'est pas arbitraire : la loi pV = nRT ou un rapport de températures n'ont de sens qu'en kelvins. Une différence de température, elle, a la même valeur en kelvins et en degrés Celsius.

Qu'est-ce qu'une différentielle totale exacte ?

C'est une forme différentielle qui est la différentielle d'une fonction, comme dV pour le volume d'un fluide. Son intégrale entre deux états ne dépend pas du chemin suivi. On la reconnaît à l'égalité des dérivées croisées ; le travail et la chaleur élémentaires ne sont pas des différentielles exactes, d'où les notations delta W et delta Q.

Y a-t-il un cours en vidéo sur « Notions de base de la thermodynamique » (Thermodynamique) ?

Oui. Sur MC² Academy, le chapitre « Notions de base de la thermodynamique » du module Thermodynamique compte 15 vidéos (3 h 43), 2 résumés, 8 séries d'exercices corrigés, 2 QCM (20 questions) et 2 polys rédigés. L'inscription est gratuite.

À revoir, pour aller plus loin

ThermodynamiquePremier principe de la thermodynamiquePremier principe de la thermodynamique : travail des forces de pression, chaleur, énergie interne, enthalpie, lois de Joule, relation de Mayer, lois de Laplace.

Travaille « Notions de base de la thermodynamique » avec MC²

Ton compte est gratuit, sans carte bancaire : tu retrouves le module Thermodynamique et tout ton programme.

Yallah, bda dabaLeçon gratuite, sans compte