Physique · Thermodynamique · chapitre 3 sur 5

Deuxième principe et machines thermiques

Thermodynamique, semestre 1 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

Le premier principe n'interdit pas qu'une chaleur passe d'elle-même d'un corps froid à un corps chaud ; l'expérience montre pourtant que cela n'arrive jamais. Le deuxième principe fixe le sens des évolutions grâce à une nouvelle fonction d'état, l'entropie, et borne les performances des machines thermiques : un moteur ne peut pas transformer en travail toute la chaleur qu'il reçoit.

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Ce que couvre le chapitre

  • Entropie. Pour un système fermé, ΔS=Se+Sc\Delta S=S_\mathrm{e}+S_\mathrm{c} : l'entropie échangée Se=∫δQTextS_\mathrm{e}=\displaystyle\int\frac{\delta Q}{T_\mathrm{ext}}, où TextT_\mathrm{ext} est la température à la frontière, celle du thermostat au contact, et l'entropie créée Sc≥0S_\mathrm{c}\geq0, nulle seulement pour une transformation réversible. SS est une fonction d'état extensive, en J⋅K−1\mathrm{J\cdot K^{-1}}.

  • Inégalité de Clausius. Pour un système qui décrit un cycle en échangeant les chaleurs QiQ_i avec des thermostats aux températures TiT_i, ∑iQiTi≤0\displaystyle\sum_i\frac{Q_i}{T_i}\leq0, avec égalité si et seulement si le cycle est réversible.

  • Réversible ou irréversible. Frottements, transfert thermique sous un écart fini de température, détente brutale, mélange et effet Joule créent de l'entropie. Comme SS est une fonction d'état, on calcule ΔS\Delta S d'une transformation irréversible le long d'un chemin réversible fictif entre les mêmes états, où dS=δQreˊvT\mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_{\text{rév}}}{T}.

  • Entropie d'un gaz parfait et d'une phase condensée. ΔS=nCV,mln⁡T2T1+nRln⁡V2V1=nCp,mln⁡T2T1−nRln⁡p2p1\Delta S=nC_{V,m}\ln\dfrac{T_2}{T_1}+nR\ln\dfrac{V_2}{V_1}=nC_{p,m}\ln\dfrac{T_2}{T_1}-nR\ln\dfrac{p_2}{p_1} ; pour un solide ou un liquide de capacité thermique CC, ΔS=Cln⁡T2T1\Delta S=C\ln\dfrac{T_2}{T_1}.

  • Machines dithermes. Un moteur reçoit Qc>0Q_\mathrm{c}>0 de la source chaude à TcT_\mathrm{c}, cède de la chaleur à la source froide à TfT_\mathrm{f} (Qf<0Q_\mathrm{f}<0) et fournit du travail (W<0W<0). Sur un cycle, le premier principe donne W+Qc+Qf=0W+Q_\mathrm{c}+Q_\mathrm{f}=0, le deuxième QcTc+QfTf≤0\dfrac{Q_\mathrm{c}}{T_\mathrm{c}}+\dfrac{Q_\mathrm{f}}{T_\mathrm{f}}\leq0.

  • Rendement et efficacités. Moteur : η=−WQc≤1−TfTc\eta=\dfrac{-W}{Q_\mathrm{c}}\leq1-\dfrac{T_\mathrm{f}}{T_\mathrm{c}}. Réfrigérateur : e=QfW≤TfTc−Tfe=\dfrac{Q_\mathrm{f}}{W}\leq\dfrac{T_\mathrm{f}}{T_\mathrm{c}-T_\mathrm{f}}. Pompe à chaleur : e=−QcW≤TcTc−Tfe=\dfrac{-Q_\mathrm{c}}{W}\leq\dfrac{T_\mathrm{c}}{T_\mathrm{c}-T_\mathrm{f}}. Ces bornes, atteintes pour un cycle réversible, sont les valeurs de Carnot ; elles ne dépendent que des deux températures.

  • Cycle de Carnot. Deux isothermes réversibles aux températures des sources, reliées par deux adiabatiques réversibles : c'est le seul cycle ditherme réversible. Pour un gaz parfait, le calcul des chaleurs sur les deux isothermes redonne QcTc+QfTf=0\dfrac{Q_\mathrm{c}}{T_\mathrm{c}}+\dfrac{Q_\mathrm{f}}{T_\mathrm{f}}=0.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Calculer la variation d'entropie d'un gaz parfait ou d'une phase condensée entre deux états, par un chemin réversible si la transformation réelle ne l'est pas.

  • Faire un bilan d'entropie : entropie échangée avec chaque thermostat, entropie créée, et vérifier que Sc≥0S_\mathrm{c}\geq0.

  • Écrire les deux principes sur un cycle ditherme, en déduire un rendement ou une efficacité, et le comparer à la valeur de Carnot.

  • Calculer le travail et les chaleurs d'un cycle donné, de Carnot, de Beau de Rochas ou de Stirling, à partir des transformations qui le composent.

  • Exprimer les températures en kelvins dans les rapports TfTc\dfrac{T_\mathrm{f}}{T_\mathrm{c}} et dans les logarithmes ln⁡T2T1\ln\dfrac{T_2}{T_1}.

L'erreur classique

Prendre des degrés Celsius dans le rendement de Carnot

Pour un moteur entre une source chaude à 227 ∘C227\,^\circ\mathrm{C} et une source froide à 27 ∘C27\,^\circ\mathrm{C}, on écrit ηmax=1−27227≈0,88\eta_\mathrm{max}=1-\dfrac{27}{227}\approx0{,}88. C'est faux, et de loin. La borne de Carnot vient de QcTc+QfTf=0\dfrac{Q_\mathrm{c}}{T_\mathrm{c}}+\dfrac{Q_\mathrm{f}}{T_\mathrm{f}}=0, où TT est la température absolue : un rapport de températures n'a de sens qu'en kelvins. En degrés Celsius, une source froide à 0 ∘C0\,^\circ\mathrm{C} donnerait un rendement égal à 11, ce que le deuxième principe interdit.

La bonne rédaction convertit d'abord, Tc=500,15 KT_\mathrm{c}=500{,}15\,\mathrm{K} et Tf=300,15 KT_\mathrm{f}=300{,}15\,\mathrm{K} :

ηmax=1−300,15500,15≈0,40.\eta_\mathrm{max}=1-\frac{300{,}15}{500{,}15}\approx0{,}40.

L'écart Tc−Tf=200 KT_\mathrm{c}-T_\mathrm{f}=200\,\mathrm{K} est le même dans les deux échelles ; c'est le rapport qui exige les kelvins.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Un moteur comparé à la borne de Carnot

Un moteur ditherme fonctionne entre une source chaude à Tc=800 KT_\mathrm{c}=800\,\mathrm{K} et une source froide à Tf=320 KT_\mathrm{f}=320\,\mathrm{K}. À chaque cycle, il reçoit Qc=2,0 kJQ_\mathrm{c}=2{,}0\,\mathrm{kJ} et fournit un travail de 0,80 kJ0{,}80\,\mathrm{kJ}. Calculer son rendement, la valeur de Carnot et l'entropie créée par cycle.

Corrigé

Le travail reçu vaut W=−0,80 kJW=-0{,}80\,\mathrm{kJ}, d'où η=−WQc=0,40\eta=\dfrac{-W}{Q_\mathrm{c}}=0{,}40. Le premier principe sur un cycle donne Qf=−W−Qc=−1,2 kJQ_\mathrm{f}=-W-Q_\mathrm{c}=-1{,}2\,\mathrm{kJ} : le moteur cède 1,2 kJ1{,}2\,\mathrm{kJ} à la source froide.

La valeur de Carnot est 1−TfTc=1−320800=0,601-\dfrac{T_\mathrm{f}}{T_\mathrm{c}}=1-\dfrac{320}{800}=0{,}60 : le moteur est irréversible. Sur un cycle, ΔS=0\Delta S=0, donc l'entropie créée compense l'entropie échangée :

Sc=−(QcTc+QfTf)=−(2000800−1200320)=1,25 J⋅K−1>0.S_\mathrm{c}=-\left(\frac{Q_\mathrm{c}}{T_\mathrm{c}}+\frac{Q_\mathrm{f}}{T_\mathrm{f}}\right)=-\left(\frac{2000}{800}-\frac{1200}{320}\right)=1{,}25\,\mathrm{J\cdot K^{-1}}>0.

Exemple 2 — L'entropie créée par un contact thermique

Un bloc de capacité thermique C=500 J⋅K−1C=500\,\mathrm{J\cdot K^{-1}}, à T1=400 KT_1=400\,\mathrm{K}, est plongé dans un lac qui se comporte comme un thermostat à T0=300 KT_0=300\,\mathrm{K}. Calculer la variation d'entropie du bloc, l'entropie échangée et l'entropie créée.

Corrigé

Le bloc finit à T0T_0. Sa variation d'entropie se calcule sur un chemin réversible fictif :

ΔS=Cln⁡T0T1=500×ln⁡0,75≈−143,84 J⋅K−1.\Delta S=C\ln\frac{T_0}{T_1}=500\times\ln0{,}75\approx-143{,}84\,\mathrm{J\cdot K^{-1}}.

Il reçoit la chaleur Q=C (T0−T1)=−50 kJQ=C\,(T_0-T_1)=-50\,\mathrm{kJ} à la température du thermostat, d'où Se=QT0≈−166,67 J⋅K−1S_\mathrm{e}=\dfrac{Q}{T_0}\approx-166{,}67\,\mathrm{J\cdot K^{-1}}, et

Sc=ΔS−Se≈−143,84+166,67=22,83 J⋅K−1>0.S_\mathrm{c}=\Delta S-S_\mathrm{e}\approx-143{,}84+166{,}67=22{,}83\,\mathrm{J\cdot K^{-1}}>0.

La transformation est irréversible, à cause de l'écart fini de température. L'entropie du bloc diminue, mais celle de l'ensemble formé par le bloc et le lac augmente de ScS_\mathrm{c}.

Exemple 3 — Un réfrigérateur et sa borne de Carnot

Un réfrigérateur maintient son intérieur à Tf=270 KT_\mathrm{f}=270\,\mathrm{K} dans une cuisine à Tc=300 KT_\mathrm{c}=300\,\mathrm{K}. Pour extraire Qf=900 kJQ_\mathrm{f}=900\,\mathrm{kJ} de l'intérieur, il reçoit un travail électrique W=300 kJW=300\,\mathrm{kJ}. Calculer son efficacité, la chaleur rejetée dans la cuisine, la valeur de Carnot et le travail minimal nécessaire.

Corrigé

L'efficacité vaut e=QfW=900300=3,0e=\dfrac{Q_\mathrm{f}}{W}=\dfrac{900}{300}=3{,}0. Le premier principe, sur un nombre entier de cycles, donne Qc=−(W+Qf)=−1200 kJQ_\mathrm{c}=-(W+Q_\mathrm{f})=-1200\,\mathrm{kJ} : la cuisine reçoit 1,2 MJ1{,}2\,\mathrm{MJ}, plus que la chaleur retirée de l'intérieur.

La valeur de Carnot est

emax=TfTc−Tf=27030=9,0,e_\mathrm{max}=\frac{T_\mathrm{f}}{T_\mathrm{c}-T_\mathrm{f}}=\frac{270}{30}=9{,}0,

donc un réfrigérateur réversible extrairait les mêmes 900 kJ900\,\mathrm{kJ} avec Wmin=Qfemax=100 kJW_\mathrm{min}=\dfrac{Q_\mathrm{f}}{e_\mathrm{max}}=100\,\mathrm{kJ}. L'écart avec les 300 kJ300\,\mathrm{kJ} reçus mesure les irréversibilités de la machine réelle.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Que représente l'entropie créée ?

C'est la part de la variation d'entropie qui ne vient pas des échanges de chaleur. Elle est positive pour toute transformation réelle et nulle seulement pour une transformation réversible, qui est une limite idéale. Elle mesure l'irréversibilité, due par exemple à des frottements ou à un écart de température entre le système et la source.

Pourquoi le rendement d'un moteur thermique est-il inférieur à 1 ?

Le deuxième principe interdit à un moteur cyclique de produire du travail avec une seule source de chaleur : il doit céder une partie de la chaleur reçue à une source froide. Son rendement est au plus égal à la valeur de Carnot, 1 - Tf/Tc avec les températures en kelvins, qui reste inférieure à 1 puisque la source froide a une température absolue non nulle.

L'efficacité d'une pompe à chaleur peut-elle dépasser 1 ?

Oui, et cela ne contredit aucun principe : la pompe à chaleur ne crée pas la chaleur qu'elle fournit, elle la prélève en grande partie à la source froide, et le travail reçu ne paie que ce transfert. Sa valeur de Carnot, Tc/(Tc - Tf), est d'autant plus grande que l'écart de température entre les deux sources est faible.

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