Physique · Électrostatique · chapitre 3 sur 4

Distributions continues de charges

Électrostatique, semestre 2 — programme commun ENSA, ENSAM, FST, FS, EST, APESA et CPGE

À l'échelle macroscopique, les charges ne se comptent plus une à une : on les décrit par une densité, répartie dans un volume, sur une surface ou le long d'un fil. Ce chapitre calcule le champ et le potentiel de ces distributions, d'abord par intégration directe, puis par le théorème de Gauss, qui donne le champ en quelques lignes dès que les symétries sont assez fortes.

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Ce que couvre le chapitre

  • Densités de charge. Volumique ρ\rho en C⋅m−3\mathrm{C\cdot m^{-3}}, surfacique σ\sigma en C⋅m−2\mathrm{C\cdot m^{-2}}, linéique λ\lambda en C⋅m−1\mathrm{C\cdot m^{-1}} : un élément de la distribution porte la charge dq=ρ dτ\mathrm{d}q=\rho\,\mathrm{d}\tau, σ dS\sigma\,\mathrm{d}S ou λ dℓ\lambda\,\mathrm{d}\ell, et crée le champ d'une charge ponctuelle.

  • Calcul direct. Par superposition, V(M)=∫dq4πε0 PMV(M)=\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0\,PM} et E⃗(M)=∫dq4πε0 PM2 u⃗PM\vec{E}(M)=\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0\,PM^2}\,\vec{u}_{PM}, où PP parcourt la distribution et u⃗PM\vec{u}_{PM} est unitaire de PP vers MM. On calcule de préférence VV, scalaire, ou la seule composante de E⃗\vec{E} que les symétries laissent.

  • Symétries et invariances. Si un plan est plan de symétrie de la distribution, le champ en tout point de ce plan est contenu dans ce plan ; si c'est un plan d'antisymétrie, le champ y est perpendiculaire. Si la distribution est invariante par translation le long d'un axe, ou par rotation autour d'un axe, le champ ne dépend pas de la coordonnée correspondante.

  • Théorème de Gauss. Le flux du champ électrostatique sortant d'une surface fermée SS est égal à la charge intérieure divisée par ε0\varepsilon_0 : ∯SE⃗⋅dS⃗=Qintε0\displaystyle\oiint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}. Avec le théorème d'Ostrogradski, il prend la forme locale div E⃗=ρε0\mathrm{div}\,\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}.

  • Distributions classiques. Fil infini de densité λ\lambda : E⃗=λ2πε0 r u⃗r\vec{E}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,\vec{u}_r, rr étant la distance au fil. Plan infini de densité σ\sigma : E⃗=σ2ε0 n⃗\vec{E}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{n}, n⃗\vec{n} unitaire, normal au plan et dirigé vers le point considéré. Sphère de rayon RR portant QQ en surface : E⃗=0⃗\vec{E}=\vec{0} à l'intérieur et Q4πε0 r2 u⃗r\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vec{u}_r à l'extérieur.

  • Potentiel, Poisson et Laplace. Le champ électrostatique est de rotationnel nul et dérive du potentiel, E⃗=−grad→ V\vec{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V, d'où l'équation de Poisson ΔV+ρε0=0\Delta V+\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}=0, et celle de Laplace ΔV=0\Delta V=0 là où il n'y a pas de charge. Pour une distribution qui s'étend à l'infini, comme un fil ou un plan infinis, on ne peut pas prendre VV nul à l'infini.

  • Traversée d'une surface chargée. De part et d'autre d'une surface de densité σ\sigma, E⃗2−E⃗1=σε0 n⃗12\vec{E}_2-\vec{E}_1=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec{n}_{12}, avec n⃗12\vec{n}_{12} normal à la surface et orienté du côté 1 vers le côté 2 : la composante normale du champ saute de σε0\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}, sa composante tangentielle est continue, et le potentiel est continu.

Ce qui est attendu à l'examen

  • Calculer par intégration directe le champ ou le potentiel d'une distribution simple — segment, anneau, disque — en un point de son axe de symétrie.

  • Étudier les symétries et les invariances d'une distribution pour trouver la direction du champ et les coordonnées dont il dépend, avant tout calcul.

  • Choisir une surface de Gauss adaptée — sphère, cylindre fermé — et en déduire le champ d'une boule, d'un cylindre, d'un fil ou d'un plan, chargés en volume ou en surface.

  • Remonter au potentiel par V(A)−V(B)=∫ABE⃗⋅dOM→V(A)-V(B)=\displaystyle\int_A^B\vec{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM}, en choisissant la référence et en raccordant les expressions par continuité.

  • Contrôler un résultat : décroissance en 1r2\dfrac{1}{r^2} loin d'une distribution de charge totale non nulle, saut σε0\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} de la composante normale à la traversée d'une surface chargée.

L'erreur classique

Appliquer le théorème de Gauss sans étudier les symétries

Pour un segment de longueur LL chargé avec la densité λ\lambda, on trace un cylindre fermé de rayon rr et de hauteur hh autour d'une portion du segment, et l'on écrit E×2πrh=λhε0E\times2\pi rh=\dfrac{\lambda h}{\varepsilon_0}, d'où E=λ2πε0 rE=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.

Le flux total est juste — le théorème de Gauss est toujours vrai —, mais pas sa mise en facteur. Écrire ce flux sous la forme E×2πrhE\times2\pi rh suppose que le champ est radial et de même norme en tout point de la surface latérale, et que son flux à travers les deux bases est nul. Pour un segment, rien de cela n'est vrai : près des extrémités, le champ a une composante parallèle au segment, et sa norme dépend de la position le long de l'axe.

La bonne méthode commence par les symétries et les invariances, qui donnent la direction du champ et ses variables ; on choisit ensuite une surface sur laquelle le champ est, morceau par morceau, soit normal et de norme constante, soit tangent. Le résultat λ2πε0 r\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r} ne vaut que pour un fil infini, invariant par translation le long de son axe ; pour un segment, ce n'est qu'une approximation, près du segment et loin de ses extrémités.

Exemples corrigés

Exemple 1 — Le champ sur l'axe d'un disque chargé

Un disque de centre OO, d'axe OzOz et de rayon RR porte la densité surfacique uniforme σ>0\sigma>0. Calculer le potentiel, puis le champ, en un point MM de l'axe de cote z>0z>0. Étudier les cas R→∞R\to\infty et z≫Rz\gg R.

Corrigé

Potentiel. On découpe le disque en anneaux de rayon ss et de largeur ds\mathrm{d}s, de charge dq=σ 2πs ds\mathrm{d}q=\sigma\,2\pi s\,\mathrm{d}s ; tous leurs points sont à la distance s2+z2\sqrt{s^2+z^2} de MM. D'où

V(z)=∫0Rσ 2πs ds4πε0s2+z2=σ2ε0(R2+z2−z).V(z)=\int_0^R\frac{\sigma\,2\pi s\,\mathrm{d}s}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{s^2+z^2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{R^2+z^2}-z\right).

Champ. Tout plan contenant l'axe est un plan de symétrie : sur l'axe, E⃗=Ez u⃗z\vec{E}=E_z\,\vec{u}_z, et

Ez=−dVdz=σ2ε0(1−zR2+z2).E_z=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right).

Contrôles. Quand R→∞R\to\infty, Ez→σ2ε0E_z\to\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} : c'est le champ du plan infini. Quand z≫Rz\gg R, R2+z2≈z+R22z\sqrt{R^2+z^2}\approx z+\dfrac{R^2}{2z} et V≈σπR24πε0 zV\approx\dfrac{\sigma\pi R^2}{4\pi\varepsilon_0\,z} : le potentiel d'une charge ponctuelle égale à σπR2\sigma\pi R^2, la charge totale du disque.

Exemple 2 — Une boule chargée en volume, par le théorème de Gauss

Une boule de centre OO et de rayon RR porte la charge Q>0Q>0, répartie avec une densité volumique uniforme ρ\rho. Calculer le champ en tout point, puis le potentiel, nul à l'infini.

Corrigé

Symétries. Tout plan contenant OO et MM est un plan de symétrie : E⃗(M)\vec{E}(M) est porté par u⃗r\vec{u}_r. La distribution est invariante par toute rotation autour de OO : E⃗=E(r) u⃗r\vec{E}=E(r)\,\vec{u}_r.

Gauss. Sur la sphère de centre OO et de rayon rr, le flux sortant vaut 4πr2E(r)4\pi r^2E(r). À l'extérieur (r>Rr>R), la charge intérieure est QQ ; à l'intérieur (r<Rr<R), c'est ρ 43πr3=Q r3R3\rho\,\dfrac43\pi r^3=Q\,\dfrac{r^3}{R^3}. D'où

E(r)=Q4πε0 r2(r≥R),E(r)=Q r4πε0 R3(r≤R).E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\quad(r\geq R),\qquad E(r)=\frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0\,R^3}\quad(r\leq R).

Potentiel. Dehors, V=Q4πε0 rV=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r}. Dedans, dVdr=−E\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=-E donne V=−Q r28πε0 R3+KV=-\dfrac{Q\,r^2}{8\pi\varepsilon_0\,R^3}+K, et la continuité en r=Rr=R fixe la constante KK :

V(r)=Q8πε0 R(3−r2R2)(r≤R).V(r)=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0\,R}\left(3-\frac{r^2}{R^2}\right)\quad(r\leq R).

Le champ est continu en r=Rr=R, car il n'y a pas de charge surfacique ; le potentiel au centre vaut 1,51{,}5 fois celui de la surface.

Exemple 3 — Deux plans chargés en regard

Deux plans parallèles infinis, d'équations z=0z=0 et z=ez=e, portent les densités uniformes +σ+\sigma et −σ-\sigma. Trouver le champ en tout point et la différence de potentiel entre les plans. Application : σ=1,0×10−7 C⋅m−2\sigma=1{,}0\times10^{-7}\,\mathrm{C\cdot m^{-2}}, e=2,0 mme=2{,}0\,\mathrm{mm} et ε0=8,85×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F\cdot m^{-1}}.

Corrigé

Un plan seul. Tout plan perpendiculaire au plan chargé est un plan de symétrie, donc E⃗=E(z) u⃗z\vec{E}=E(z)\,\vec{u}_z ; le plan chargé est lui-même plan de symétrie, donc E(−z)=−E(z)E(-z)=-E(z). On prend un cylindre d'axe OzOz, symétrique par rapport au plan, de bases d'aire SS aux cotes z>0z>0 et −z-z : le flux latéral est nul, chaque base apporte E(z) SE(z)\,S, et le théorème de Gauss donne 2E(z) S=σSε02E(z)\,S=\dfrac{\sigma S}{\varepsilon_0}, soit E=σ2ε0E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} pour z>0z>0, indépendant de la distance.

Superposition. Entre les plans, les deux champs sont dirigés selon +u⃗z+\vec{u}_z et s'ajoutent ; à l'extérieur, ils sont opposés et se compensent :

E⃗=σε0 u⃗z(0<z<e),E⃗=0⃗ailleurs.\vec{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec{u}_z\quad(0<z<e),\qquad\vec{E}=\vec{0}\quad\text{ailleurs}.

Tension. V(0)−V(e)=∫0eσε0 dz=σeε0V(0)-V(e)=\displaystyle\int_0^e\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\mathrm{d}z=\frac{\sigma e}{\varepsilon_0}. Numériquement, E=1,0×10−78,85×10−12≈1,13×104 V⋅m−1E=\dfrac{1{,}0\times10^{-7}}{8{,}85\times10^{-12}}\approx1{,}13\times10^4\,\mathrm{V\cdot m^{-1}} et V(0)−V(e)≈22,6 VV(0)-V(e)\approx22{,}6\,\mathrm{V}. C'est le modèle du condensateur plan.

Andek chi soual ?

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quand peut-on utiliser le théorème de Gauss pour calculer un champ ?

Le théorème est toujours vrai, mais il ne donne le champ que si la distribution a assez de symétries : sphérique, cylindrique ou plane, avec les invariances correspondantes. On choisit alors une surface fermée sur laquelle le champ est, morceau par morceau, soit normal et de norme constante, soit tangent, ce qui permet de le sortir de l'intégrale. Sinon, on revient au calcul direct par superposition.

Pourquoi le champ d'un plan infini ne dépend-il pas de la distance au plan ?

Quand on s'éloigne du plan, chaque charge contribue moins, mais une portion de plan de plus en plus large contribue de façon notable, et les deux effets se compensent exactement ; le théorème de Gauss le montre en une ligne. Pour un disque réel, ce résultat ne vaut qu'à une distance petite devant son rayon ; loin du disque, le champ décroît comme celui d'une charge ponctuelle.

Le champ électrique est-il continu à la traversée d'une surface chargée ?

Pas entièrement. Sa composante tangentielle est continue, mais sa composante normale saute de σ/ε0, où σ est la densité surfacique de charge. Le potentiel, lui, reste continu. Pour un plan infini isolé, la composante normale passe ainsi de -σ/(2ε0) d'un côté à +σ/(2ε0) de l'autre.

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